Question

【題目】定義在D上的函數(shù)f（x），如果滿足：對(duì)任意x∈D，存在常數(shù)M≥0，都有|f（x）|≤M 成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函f（x）的一個(gè)上界．已知函數(shù)f（x）=1+a+ ， g（x）= ．
（1）若函數(shù)g（x）為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）在（1）的條件下，求函數(shù)g（x），在區(qū)間[ ， 3]上的所有上界構(gòu)成的集合；
（3）若函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是以3為上界的有界函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（1）∵函數(shù)g（x）為奇函數(shù)，
∴g（﹣x）=﹣g（x），即=﹣．，
即=，得a=±1，而當(dāng)a=1時(shí)不合題意，故a=﹣1．
（2）由（1）得：g（x）=，
∵函數(shù)g（x）=在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)g（x）=在區(qū)間[，3]上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)g（x）=在區(qū)間[，3]上的值域?yàn)閇﹣2，﹣1]，
∴|g（x）|≤2，
故函數(shù)g（x）在區(qū)間[，3]上的所有上界構(gòu)成集合為[2，+∞）．
（3）由題意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立．
∴﹣3≤f（x）≤3，
∴﹣4﹣≤a≤2﹣，
∴﹣42x﹣≤a≤22x﹣在[0，+∞）上恒成立．
設(shè)t=2x ， t≥1，h（t）=﹣4t﹣，p（t）=2t﹣，
則h′（t）=﹣4+＜0，p′（t）=2+＞0，
∴h（t）在[1，+∞）上遞減，p（t）在[1，+∞）上遞增，
∴h（t）在[1，+∞）上的最大值為h（1）=﹣5，p（t）在[1，+∞）上的最小值為p（1）=1．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為[﹣5，1]
【解析】（1）利用奇函數(shù)的定義，建立方程，即可求實(shí)數(shù)a的值；
（2）求出函數(shù)g（x）=在區(qū)間[ ， 3]上的值域?yàn)閇﹣2，﹣1]，結(jié)合新定義，即可求得結(jié)論；
（3）由題意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立，可得﹣42x﹣≤a≤22x﹣在[0，+∞）上恒成立，換元，求出左邊的最大值，右邊的最小值，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】掌握函數(shù)的最值及其幾何意義和函數(shù)奇偶性的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（�。┲�；利用圖象求函數(shù)的最大（小）值；利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（�。┲�；在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個(gè)為偶就為偶，兩個(gè)為奇才為奇．