【題目】已知函數(shù),求證:
(1)在區(qū)間
存在唯一極大值點;
(2)在
上有且僅有2個零點.
【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析
【解析】
(1)首先求出函數(shù)的導數(shù),設(shè)
,對
求導,說明其單調(diào)性,再根據(jù)零點存在性定理可得
在
有唯一零點,從而得證;
(2)結(jié)合(1)的單調(diào)性利用零點存在性定理證明上有兩個零點,當
時無零點.
解:(1)因為,所以
,
設(shè),則
,則當
時,
,
所以即
在
單調(diào)遞減,
又,
,且
圖像是不間斷的,
由零點存在性定理可得在
有唯一零點,設(shè)為
.
則當時,
;當
時,
.
所以在
單調(diào)遞增,在
單調(diào)遞減,
故在
存在唯一極大值點.
(2)因為,所以
,
設(shè),則
,則當
時,
,
所以即
在
單調(diào)遞減,
由(1)知,在
單調(diào)遞增,在
單調(diào)遞減.
又,
,所以
,
又的圖像是不間斷的,所以存在
,使得
;
又當時,
,所以
在
遞減,
因,又
,又
的圖像是不間斷的,
所以存在,使得
;
當時,
,
,所以
,從而
在
沒有零點.
綜上,有且僅有2個零點.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】“既要金山銀山,又要綠水青山”。某風景區(qū)在一個直徑為
米的半圓形花圓中設(shè)計一條觀光線路。打算在半圓弧上任選一點
(與
不重合),沿
修一條直線段小路,在路的兩側(cè)(注意是兩側(cè))種植綠化帶;再沿弧
修一條弧形小路,在小路的一側(cè)(注意是一側(cè))種植綠化帶,小路與綠化帶的寬度忽略不計。
(1)設(shè)(弧度),將綠化帶的總長度表示為
的函數(shù)
;
(2)求綠化帶的總長度的最大值。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】對定義在[0,1]上,并且同時滿足以下兩個條件的函數(shù)f(x)稱為G函數(shù).
①對任意的x∈[0,1],總有f(x)≥0;
②當x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1時,總有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立.已知函數(shù)g(x)=x2與h(x)=2x﹣b是定義在[0,1]上的函數(shù).
(1)試問函數(shù)g(x)是否為G函數(shù)?并說明理由;
(2)若函數(shù)h(x)是G函數(shù),求實數(shù)b組成的集合.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在直角坐標系中,曲線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)),若以直角坐標系中的原點為極點,
軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線
的極坐標方程為
(
為實數(shù).)
(1)求曲線的普通方程和曲線
的直角坐標方程;
(2)若曲線與曲線
有公共點,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)設(shè)時,求
的導函數(shù)
的遞增區(qū)間;
(2)設(shè) ,求
的單調(diào)區(qū)間;
(3)若 對
恒成立,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知為橢圓
的右焦點,點
在
上,且
軸.
(1)求的方程;
(2)過的直線
交
于
兩點,交直線
于點
.判定直線
的斜率是否依次構(gòu)成等差數(shù)列?請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列四種說法中,
①命題“存在x∈R,x2﹣x>0”的否定是“對于任意x∈R,x2﹣x<0”;
②命題“p且q為真”是“p或q為真”的必要不充分條件;
③已知冪函數(shù)f(x)=xα的圖象經(jīng)過點(2,),則f(4)的值等于
;
④已知向量a=(3,4),b=(2,1),b =(2,1),則向量a在向量b方向上的投影是,
其中說法正確的個數(shù)是( �。�
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知直線的參數(shù)方程為
為參數(shù)),以坐標原點為極點,
軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線
的極坐標方程為
.
(1)求直線的普通方程和曲線
的直角坐標方程;
(2)設(shè)點,直線
與曲線
交于
兩點,求
的值.
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