Question

已知水渠在過水斷面面積為定值的情況下，過水濕周越小，其流量越大．現有以下兩種設計，其縱斷面如圖所示，圖甲的過水斷面為等腰△ABC，AB=BC，過水濕周l₁=AB+BC；圖乙的過水斷面為等腰梯形ABCD，AD∥BC，AB=CD，∠BAD=60°，過水濕周l₂=AB+BC+CD．若△ABC和等腰梯形ABCD的面積都是S，
（1）分別求l₁和l₂的最小值；（2）為使流量最大，給出最佳設計方案．

Answer 1

分析：（1）圖甲的過水斷面為等腰△ABC，AB=BC，設角ABC，表示出l1和s，圖乙的過水斷面為等腰梯形ABCD，AD∥BC，AB=CD，
∠BAD=60°，過水濕周l₂=AB+BC+CD，表示出l₂和s，根據l_1、l₂的表達式求最值；
（2）根據水渠在過水斷面面積為定值的情況下，過水濕周越小，其流量越大，由（1）比較l_1、l₂的最小值的大小，小的其流量大．

解答：解：（1）在圖甲中，設∠ABC=θ，AB=BC=a，
則S=

1

2

a2sinθ，l₁=2a=2

2S sinθ

≥2

2S

，當且僅當θ=90°時，l₁=2

2S

，
故l₁的最小值為2

2S

．
在圖乙中，設AB=CD=m，BC=n，又由∠BAD=60°，可得AD=m+n，S=

1

2

（m+n+n）×

3

2

m，
故n=

2S

3 m

-

m

2

．
∴l2=2m+n=2m+

2S

3 m

-

m

2

=

3m

2

+

2S

3 m

≥2

3 S

，當且僅當

3m

2

=

2S

3 m

，
即m=

4S 3 3

時，l₂=2

3 S

．
故l₂的最小值為2

4	3

S

．
（2）由于2＞

3

，故2

2S

＞2

3 S

，故l₂的最小值小于l₁的最小值．
所以在方案乙中當l₂最小，即m=n=(

2

3

[

4]3)

S

時為最佳設計方案．

點評：考查根據實際問題抽象函數模型的能力，并能根據模型的解決，指導實際生活中的決策問題，在解模的過程中應用了基本不等式求最值，和借助于三角函數的有界性放縮不等式，屬中檔題．