Question

20．直線l與橢圓4x²+y²=4交于P，Q兩點，若OP⊥OQ，則l在兩坐標軸上的截距乘積最小值為（　　）

• A． $\frac{5}{6}$
• B． $\frac{8}{5}$
• C． 2
• D． $\frac{12}{5}$

Answer 1

分析 設(shè)出直線方程y=kx+n，和橢圓方程聯(lián)立后得到關(guān)于x的一元二次方程，由判別式大于0得到關(guān)于k和n的不等式，
由根與系數(shù)關(guān)系得到x₁+x₂=-$\frac{2kn}{{k}^{2}+4}$，x₁x₂=$\frac{{n}^{2}-4}{{k}^{2}+4}$．代入x₁x₂+y₁y₂=0得到k與n的等式，即可求出l在兩坐標軸上的截距乘積最小值．

解答 解：設(shè)直線l的方程為y=kx+n，與橢圓方程聯(lián)立，得（k²+4）x²+2knx+n²-4=0．
則△=4k²n²-4（n²-4）（k²+4）＞0，即k²-n²+4＞0①
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=-$\frac{2kn}{{k}^{2}+4}$，x₁x₂=$\frac{{n}^{2}-4}{{k}^{2}+4}$．
由OP⊥OQ，可得x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+（kx₁+n）（kx₂+n）=0．
整理可得（k²+1）x₁x₂+kn（x₁+x₂）+n²=0．
化簡可得5n²=4k²+4，代入①整理可得k²+16＞0，
l在兩坐標軸上的截距乘積n•（-$\frac{n}{k}$）=-$\frac{{n}^{2}}{k}$=-$\frac{4}{5}$（k+$\frac{1}{k}$）
所以k=-1，l在兩坐標軸上的截距乘積最小值為$\frac{8}{5}$．
故選：B．

點評 本題考查了橢圓的標準方程，考查了平面向量的數(shù)量積的運算，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，訓(xùn)練了一元二次方程中根與系數(shù)關(guān)系的運用，是中檔題．