Question

20．x，y∈R，A={（x，y）|x²+y²=1}，B={（x，y）|$\frac{x}{a}$-$\frac{y}$=1，a＞0，b＞0}，當(dāng)A∩B只有1個(gè)元素時(shí)，a，b滿足的關(guān)系式為（　�。�

• A． $\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=1
• B． a²+b²=1
• C． $\frac{1}{a^2}$+$\frac{1}{b^2}$=1
• D． a+b=ab

Answer 1

分析 集合A表示圓心（0，0），半徑為1的圓上的點(diǎn)集，集合B表示直線bx-ay-ab=0，兩集合交集只有1個(gè)元素，即為直線與圓相切，求出a與b滿足的關(guān)系式即可．

解答 解：∵A={（x，y）|x²+y²=1}，B={（x，y）|$\frac{x}{a}$-$\frac{y}$=1，a＞0，b＞0}，且A∩B只有1個(gè)元素，
∴圓x²+y²=1與直線$\frac{x}{a}$-$\frac{y}$=1，即bx-ay-ab=0相切，
即圓心（0，0）到直線的距離d=r=1，即$\frac{|ab|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=1，
整理得：a²+b²=a²b²，即$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$=1，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵．