Question

已知圓，直線l與圓C₁相切于點A（1，1）；圓C₂的圓心在直線x+y=0上，且圓C₂過坐標原點．
（1）求直線l的方程；
（2）若圓C₂被直線l截得的弦長為8，求圓C₂的方程．

Answer 1

解：（1）∵圓，直線l與圓C₁相切于點A（1，1），
∴直線l與直線AC₁垂直，…（1分）
而圓的圓心C₁（0，0），則直線AC₁的斜率為k=1，…（2分）
∴直線l的斜率為-1，…（3分）
則直線l的方程為y-1=-（x-1），…（5分）
即x+y-2=0…（6分）
（2）設圓C₂的圓心C₂（a，-a），半徑為r，則圓C₂的方程為（x-a）²+（y+a）²=r²，…（7分）
∵圓C₂過原點，
∴2a²=r²，…（8分）
∴圓C₂的方程為（x-a）²+（y+a）²=2a²．…（9分）
而圓C₂被直線l截得的弦長為8．
∴圓心C₂（a，-a）到直線l：x+y-2=0的距離：，…（10分）
得到r²=18，a=3或a=-3…（12分）
∴圓C₂的方程為：（x-3）²+（y+3）²=18或（x+3）²+（y-3）²=18…（14分）
分析：（1）利用圓，直線l與圓C₁相切于點A（1，1），可求線l的斜率為-1，從而可求直線l的方程；
（2）先假設圓的方程，求點到直線的距離，再利用勾股定理求弦長，從而可求圓C₂的方程．
點評：本題考查的重點是直線與圓的方程，解題的關鍵是利用直線與圓相切求斜率，利用待定系數法求圓的方程．