Question

數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=2，an+2=(1+cos2

nπ

2

)an+sin2

nπ

2

，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）求a₃，a₄，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)bn=

a2n-1

a2n

，Sn=b1+b2+…+bn．，求s_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因?yàn)?span id="qpcgx6r" class="MathJye">a1=1，a2=2，所以a3=(1+cos2

π

2

)a1+sin2

π

2

=a1+1=2，a₄=（1+cos²π）a₂+sin²π=2a₂=4．一般地，當(dāng)n=2k-1（k∈N^*）時(shí)，a_2k+1-a_2k-1=1．由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由bn=

a2n-1

a2n

=

n

2n

，知Sn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，由錯(cuò)位相減法能夠求出s_n．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)?span id="a7szqnr" class="MathJye">a1=1，a2=2，所以a3=(1+cos2

π

2

)a1+sin2

π

2

=a1+1=2，
a₄=（1+cos²π）a₂+sin²π=2a₂=4…（2分）
一般地，當(dāng)n=2k-1（k∈N^*）時(shí)，
a2k+1=[1+cos2

(2k-1)π

2

]a2k-1+sin2

2k-1

2

π
=a_2k-1+1，即a_2k+1-a_2k-1=1．
所以數(shù)列{a_2k-1}是首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列，
因此a_2k-1=k．…（4分）
當(dāng)n=2k（k∈N^*）時(shí)，
a2k+2=(1+cos2

2kπ

2

)a2k+sin2

2kπ

2

=2a2k．
所以數(shù)列{a_2k}是首項(xiàng)為2、公比為2的等比數(shù)列，因此a_2k=2^k．…（6分）
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為an=

n+1 2 ，n=2k-1(k∈N*) 2 n 2 ，n=2k(k∈N*)

…（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn=

a2n-1

a2n

=

n

2n

，…（9分）
Sn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，①

1

2

Sn=

1

22

+

2

22

+

3

24

+…+

n

2n+1

②
①-②得，

1

2

Sn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

．
所以Sn=2-

1

2n-1

-

n

2n

=2-

n+2

2n

．…（13分）

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．