Question

2．已知命題α：|a-1|＜2，β：方程x²+（a+2）x+1=0沒有正根，求實數(shù)a的取值范圍，可得命題α，β有且只有一個是真命題．

Answer 1

分析 命題α，β有且只有一個是真命題，知兩個命題一真一假，故要分為兩類求解，α真β假或α假β真，首先要將兩個命題中的條件進行化簡，再分類討論．

解答 解：由命題α：|a-1|＜2，得-2＜a-1＜2，∴-1＜a＜3；
∵方程x²+（a+2）x+1=0沒有正根，分為兩類求解，一是方程無解，二是有兩個非正實根，
令f（x）=x²+（a+2）x+1，則f（0）=1，
∴當(dāng)無解時，△=（a+2）²-4＜0，解得-4＜a＜0；
當(dāng)有兩個非正根時，$\left\{\begin{array}{l}{△≥0}\\{-\frac{a+2}{2}＜0}\end{array}\right.$，解得a≥0．
∴當(dāng)方程x²+（a+2）x+1=0沒有正根時，a的取值范圍是：a＞-4．
∵命題α，β有且只有一個是真命題，
∴當(dāng)α真β假時，得a∈∅；
當(dāng)α假β真時，得-4＜a≤-1或a≥3．
∴命題α，β有且只有一個是真命題時，a的取值范圍是（-4，-1]∪[3，+∞）．

點評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，求解本題關(guān)鍵是化兩個條件，尤其是命題β：方程x²+（a+2）x+1=0不存正實數(shù)根這個條件的轉(zhuǎn)化，易因忘記方程無根時也滿足無正根而導(dǎo)致錯誤，做題是要考慮完善，轉(zhuǎn)化要注意驗證是否等價，該題是中檔題．