Question

17．某校高一年級有四個(gè)班，其中一、二班為數(shù)學(xué)課改班，三、四班為數(shù)學(xué)非課改班．在期末考試中，課改班與非課改班的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與非優(yōu)秀人數(shù)統(tǒng)計(jì)如表．

	優(yōu)秀	非優(yōu)秀	總計(jì)
課改班		50
非課改班	20		110
合計(jì)			210

（1）請完成上面的2×2列聯(lián)表，并判斷若按99%的可靠性要求，能否認(rèn)為“成績與課改有關(guān)”；
（2）把全部210人進(jìn)行編號，從編號中有放回抽取4次，每次抽取1個(gè)，記被抽取的4人中的優(yōu)秀人數(shù)為ξ，若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析 （1）確定2×2列聯(lián)表，計(jì)算K²，與臨界值比較，即可得出結(jié)論；
（2）隨機(jī)變量ξ的所有取值為0，1，2，3，4，求出相應(yīng)的概率，可得ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．

解答 解：（1）

	優(yōu)秀	非優(yōu)秀	總計(jì)
課改班	50	50	100
非課改班	20	90	110
合計(jì)	70	140	210

（2分）
K²=$\frac{210×（50×90-20×50）^{2}}{100×110×70×140}$=23.86＞6.635，（5分）
所以按照99%的可靠性要求，能夠判斷成績與課改有關(guān)．（6分）
（2）隨機(jī)變量ξ的所有取值為0，1，2，3，4．（7分）
由于是有放回的抽取，所以可知每次抽取中抽到優(yōu)秀的概率為$\frac{70}{210}$=$\frac{1}{3}$，（8分）
P（ξ=0）=C₄⁰（$\frac{1}{3}$）⁰（$\frac{2}{3}$）⁴=$\frac{16}{81}$；P（ξ=1）=C₄¹（$\frac{1}{3}$）¹（$\frac{2}{3}$）³=$\frac{32}{81}$；
P（ξ=2）=C₄²（$\frac{1}{3}$）²（$\frac{2}{3}$）²=$\frac{8}{27}$；P（ξ=3）=C₄³（$\frac{1}{3}$）³（$\frac{2}{3}$）¹=$\frac{8}{81}$；
P（ξ=4）=C₄⁴（$\frac{1}{3}$）⁴（$\frac{2}{3}$）⁰=$\frac{1}{81}$．
所以ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4
P	$\frac{16}{81}$	$\frac{32}{81}$	$\frac{8}{27}$	$\frac{8}{81}$	$\frac{1}{81}$

（10分）
Eξ=0×$\frac{16}{81}$+1×$\frac{32}{81}$+2×$\frac{8}{27}$+3×$\frac{8}{81}$+4×$\frac{1}{81}$=$\frac{4}{3}$．（12分）

點(diǎn)評 本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)、分布列及其數(shù)學(xué)期望，正確計(jì)算是關(guān)鍵，屬于中檔題．