Question

熱力公司為某生活小區(qū)鋪設(shè)暖氣管道，為減少熱量損耗，管道外表需要覆蓋保溫層，經(jīng)測(cè)算要覆蓋可使用20年的保溫層，每厘米厚的保溫層材料成本為2萬(wàn)元，小區(qū)每年的熱量損耗費(fèi)用w（單位：萬(wàn)元）與保溫層厚度x（單位：cm）滿足關(guān)系：w（x）=

k

2x+1

（0≤x≤10）．若不加保溫層，每年熱量損耗費(fèi)用5萬(wàn)元，設(shè)保溫層費(fèi)用與20年的熱量損耗費(fèi)用之和為f（x）．
（1）求k的值及f（x）的表達(dá)式；
（2）問(wèn)保溫層多厚時(shí)，總費(fèi)用f（x）最小，并求最小值．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)椴患颖�溫層，每年熱量損耗費(fèi)用5萬(wàn)元，所以將x=0時(shí)w=5代入w（x）求出參數(shù)k；求出保溫層的費(fèi)用為2x；求出20年的熱量損耗費(fèi)；將兩者加起來(lái)為f（x）
（2）將f（x）中的2x寫(xiě)成（2x+1）-1，湊成乘積為定值；利用基本不等式求出f（x）的最小值，求出等號(hào)取到時(shí)對(duì)應(yīng)的x的值．

解答：解：（1）由題意知：W（0）=5，?K=5，?f（x）=2x+

100

2x+1

（0≤x≤10）．
（2）∵f（x）=（2x+1）+

100

2x+1

-1≥20-1=19，當(dāng)且僅當(dāng)2x+1=

100

2x+1

，
即x=4.5時(shí)等號(hào)成立，
∴當(dāng)保溫層為4.5cm時(shí)，總費(fèi)用最小且為19萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題、考查通過(guò)觀察在函數(shù)中湊出定值，利用基本不等式求出最值．注意利用基本不等式求函數(shù)最值需注意滿足的條件：一正、二定、三相等．