Question

如圖，圓A的方程為：（x+3）²+y²=100，定點B（3，0），動點P為圓A上的任意一點．線段BP的垂直平分線和半徑AP相交于點Q，當(dāng)點P在圓A上運動時，
（1）求|QA|+|QB|的值，并求動點Q的軌跡方程；
（2）設(shè)Q點的橫坐標(biāo)為x，記PQ的長度為f（x），求函數(shù)f （x）的值域．

Answer 1

分析：（1）連接QB，得出|QA|+|QB|為定值，由題意可知Q滿足橢圓的定義，求a、b可得它的方程．
（2）由已知得|PQ|=|QB|，又由（1）知點Q的軌跡方程為：

x2

25

+

y2

16

=1，從而得出f（x）的表達(dá)式，最后求得函數(shù)f（x）的值域即可．

解答：解：（1）連接QB，由已知，得|QB|=|QP|，
所以，|QA|+|QB|=|QA|+|QP|=|OP|=10（3分）
又|AB|=6，10＞6，
根據(jù)橢圓的定義，點Q的軌跡是A，B為焦點，以10為長軸長的橢圓，
2a=10，2c=6，所以b=4，
所以，點Q的軌跡方程為：

x2

25

+

y2

16

=1（7分）
（2）由已知得|PQ|=|QB|，所以，f（x）=

(x-3)2+y2

（9分）
又點Q的軌跡方程為：

x2

25

+

y2

16

=1，所以，y2=16(1-

x2

25

)，代入上式，消去y，得
f（x）=

9 25 x2-6x+25

=|5-

3

5

x|
由-5≤x≤5，所以2≤5-

3

5

x≤8，所以f（x）的值域為[2，8]．

點評：本題主要考查了軌跡方程的問題．本題解題的關(guān)鍵是利用了橢圓的定義求得軌跡方程．本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點關(guān)于直線對稱問題，軌跡的求法，是中檔題．