Question

17．在平面直角坐標(biāo)系中，把位于直線y=k與直線y=l（k、l均為常數(shù)，且k＜l）之間的點(diǎn)所組成區(qū)域（含直線y=k，直線y=l）稱為“k⊕l型帶狀區(qū)域”，設(shè)f（x）為二次函數(shù)，三點(diǎn)（-2，f（-2）+2）、（0，f（0）+2）、（2，f（2）+2）均位于“0⊕4型帶狀區(qū)域”，如果點(diǎn)（t，t+1）位于“-1⊕3型帶狀區(qū)域”，那么，函數(shù)y=|f（t）|的最大值為（　　）

• A． $\frac{7}{2}$
• B． 3
• C． $\frac{5}{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 設(shè)出函數(shù)f（x）的解析式，求出|t的范圍，求出|f（t）|的解析式，根據(jù)不等式的性質(zhì)求出其最大值即可．

解答 解：設(shè)f（x）=ax²+bx+c，則|f（-2）|≤2，|f（0）|≤2，|f（2）|≤2，
即$\left\{\begin{array}{l}{f（-2）=4a-2b+c}\\{f（2）=4a+2b+c}\\{f（0）=c}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{f（2）+f（-2）-2f（0）}{8}}\\{b=\frac{f（2）-f（-2）}{4}}\\{c=f（0）}\end{array}\right.$，
∵t+1∈[-1，3]，∴|t|≤2，
故y=|f（t）|=|$\frac{f（2）+f（-2）-2f（0）}{8}$t²+$\frac{f（2）-f（-2）}{4}$t+f（0）|
=|$\frac{{t}^{2}+2t}{8}$f（2）+$\frac{{t}^{2}-2t}{8}$f（-2）+$\frac{4{-t}^{2}}{4}$f（0）|
≤$\frac{1}{4}$|t（t+2）|+$\frac{1}{4}$|t（t-2）|+$\frac{1}{2}$|4-t²|
=$\frac{1}{4}$|t|（t+2）+$\frac{1}{4}$|t|（2-t）+$\frac{1}{2}$（4-t²）
═-$\frac{1}{2}$（|t|-1）²+$\frac{5}{2}$≤$\frac{5}{2}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求函數(shù)的解析式問題，考查二次函數(shù)的性質(zhì)以及不等式的性質(zhì)，求函數(shù)最值問題，是一道中檔題．