已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點為F，離心率為
2
2
，且橢圓上的點到F的最大距離為
2
+1．
（I）求橢圓方程；
（II）如圖，過F作與x軸不重合的直線l交橢圓于A，B兩點，直線BO交橢圓于另一點C，求|AB|+|AC|的取值范圍．
分析：（Ⅰ）由題意知
e=
c
a
=
2
2
a+c=
2
+1
，及b2=a2-c2，解出即可；
（II）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線l的方程為my=x+1，與橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)，設(shè)AB的中點為M（x0，y0），則|AC|=2|MO|，
利用兩點間的距離公式和弦長公式可得|AC|+|AB|關(guān)于m的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．
解答：解：（Ⅰ）由題意知
e=
c
a
=
2
2
a+c=
2
+1
，
解得：a=
2
，c=1，∴b=1．
∴橢圓C的方程為
x2
2
+y2=1．
（Ⅱ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線l的方程為my=x+1，
由 
my=x+1
x2
2
+y2=1
 得(m2+2)y2-2my-1=0，
∴y1+y2=
2m
m2+2
 ， y1y2=-
1
m2+2
．
設(shè)AB的中點為M（x0，y0），則|AC|=2|MO|，
∵y0=
y1+y2
2
=
m
m2+2
， x0=(my0-1)=-
2
m2+2
，
∴|AC|=2
x02+y02
=
2
m2+4
m2+2
，|AB|=|y1-y2|
1+m2
=
2
2
(1+m2)
m2+2
，
∴|AB|+|AC|=
2
2
(1+m2)
m2+2
+
2
m2+4
m2+2
=
2
2
(1+m2)+2
m2+4
m2+2
，
令f(m)=
2
2
(1+m2)
m2+2
+
2
m2+4
m2+2
=
2
2
(1+m2)+2
m2+4
m2+2
，
則f′(m)=
2m(2
2
m2+4
-m2-6)
(m2+2)
m2+4
=
-2m(
m2+4
-
2
)2
(m2+2)
m2+4
，
∴當(dāng)m＞0，f'（m）＜0；當(dāng)m＜0，f'（m）＞0，
即f（m）在（-∞，0）上遞增，在（0，+∞）上遞遞減．
∴f（m）在m=0處取得最大值．
∴f(m)＜f(0)=2+
2
．
又f(m)=
2
2
(1+m2)+2
m2+4
m2+2
=2
2
+
2
m2+4
-2
2
m2+2
＞2
2
，
∴f(m)∈(2
2
，2+
2
)．
即|AB|+|AC|的取值范圍是(2
2
，2+
2
)．
點評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、兩點間的距離公式、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，左頂點為A，若|F1F2|=2，橢圓的離心率為e=
1
2

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，
（Ⅱ）若P是橢圓上的任意一點，求
PF1
•
PA
的取值范圍
（III）直線l：y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點M，N（均不是長軸的頂點），AH⊥MN垂足為H且
AH
2=
MH
•
HN
，求證：直線l恒過定點．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點F（-c，0）是長軸的一個四等分點，點A、B分別為橢圓的左、右頂點，過點F且不與y軸垂直的直線l交橢圓于C、D兩點，記直線AD、BC的斜率分別為k1，k2
（1）當(dāng)點D到兩焦點的距離之和為4，直線l⊥x軸時，求k1：k2的值；
（2）求k1：k2的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率是
3
2
，且經(jīng)過點M（2，1），直線y=
1
2
x+m(m＜0)與橢圓相交于A，B兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）當(dāng)m=-1時，求△MAB的面積；
（3）求△MAB的內(nèi)心的橫坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•威海二模）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為e=
6
3
，過右焦點做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點，且兩交點與橢圓的左焦點及右頂點構(gòu)成的四邊形面積為
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)點M（0，2），直線l：y=1，過M任作一條不與y軸重合的直線與橢圓相交于A、B兩點，若N為AB的中點，D為N在直線l上的射影，AB的中垂線與y軸交于點P．求證：
ND
•
MP
AB
2
為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點為F，過F作y軸的平行線交橢圓于M、N兩點，若|MN|=3，且橢圓離心率是方程2x2-5x+2=0的根，求橢圓方程．

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