Question

過雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦點F（-c，0）（c＞0），作傾斜角為

π

6

的直線FE交該雙曲線右支于點P，若

OE

=

1

2

(

OF

+

OP

)，且

OE

•

EF

=0，則雙曲線的離心率為

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由題設(shè)條件結(jié)合雙曲線的性質(zhì)，推導(dǎo)出OE=

1

3 -1

a，EF=

3

3 -1

a，OE⊥EF，OF=c，由此利用勾股定理能求出a，c間的等量關(guān)系，從而能求出雙曲線的離心率．

解答： 解：如圖，設(shè)雙曲線的右焦點為Q，F(xiàn)Q的中點為O，連結(jié)OE，PQ，
∵

OE

=

1

2

(

OF

+

OP

)，且

OE

•

EF

=0，
∴OE

∥

.

1

2

PQ，OE⊥EF，
又∵PF-PQ=2a，∴EF-OE=a，
∵直線FE的傾斜角為

π

6

，
∴

OE

EF

=

1

3

，
∴EF=

3

OE，
∴

3

OE-OE=（

3

-1）OE=a，
∴OE=

1

3 -1

a，EF=

3

3 -1

a，
∵OE⊥EF，OF=c，
∴（

1

3 -1

a）²+（

3

3 -1

a）²=c²，
解得c=

2 2- 3

a=（

3

+1）a，
∴e=

c

a

=

3

+1．
故答案為：

3

+1．

點評：本題考查雙曲線的離心率的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意數(shù)形結(jié)合思想的合理運用．