Question

3．已知函數(shù)g（x）=x³-ax²+2（a＜2）在[-2，1]內有零點，則實數(shù)a的取值范圍是$\frac{3\sqrt{2}}{2}$$≤a＜\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的零點判定定理得出：g（-2）g（1）≤0，求解不等式即可得出答案（3+2a）（3-a）≥0．

解答 解：∵函數(shù)g（x）=x³-ax²+2（a＜2）在[-2，1]內有零點，
∴g^′（x）=3x²-2ax，a＜2，
g^′（x）=3x²-2ax=0，x=0，x=$\frac{2a}{3}$，
g^′（x）=3x²-2ax＞0，x＜0或x$＞\frac{2a}{3}$，
g^′（x）=3x²-2ax＜0，0$＜x＜\frac{2a}{3}$，
∴函數(shù)g（x）=x³-ax²+2（a＜2）在[-2，0]的遞增，在[0，$\frac{2a}{3}$]單調遞減，
∵（a＜2）在[-2，1]內有零點，f（0）=2＞0
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2a}{3}≥1}\\{f（1）≤0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2a}{3}＜1}\\{f（\frac{2a}{3}）≤0}\end{array}\right.$
∴a≥3或$\frac{3\sqrt{2}}{2}$$≤a＜\frac{3}{2}$，
∵a＜2
∴實數(shù)a的取值范圍是：$\frac{3\sqrt{2}}{2}$$≤a＜\frac{3}{2}$，
故答案為：$\frac{3\sqrt{2}}{2}$$≤a＜\frac{3}{2}$，

點評 本題綜合考查了函數(shù)的性質，不等式，函數(shù)的零點的判定定理，難度不是很大，屬于中檔題，關鍵是理解題意．