Question

已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到直線x=-1的距離與到定點(diǎn)C的距離的差為．動(dòng)點(diǎn)P的軌跡設(shè)為曲線C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)A（-4，0）的直線與曲線C交于E、F兩點(diǎn)，定點(diǎn)A'（4，0），求直線A'E、A'F的斜率之和．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意知，動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)C的距離等于到定直線的距離，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為拋物線，由此能求出點(diǎn)P的軌跡方程．
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)A的直線方程為y=k（x+4）（k≠0）．聯(lián)立方程組，得，由此能夠求出直線A′E、A′F的斜率之和．
解答：解：（Ⅰ）由題意知，動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)C的距離等于到定直線的距離，
所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為拋物線，
且=，
P=1．
所以點(diǎn)P的軌跡方程為y²=2x．…（6分）
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)A的直線方程為y=k（x+4）（k≠0）．
聯(lián)立方程組，
消去x，得．…（8分）
設(shè)E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂），
則y₁•y₂=8，且y₁²=2x₁，y₂²=2x₂．
∵，
∴
=
=．
由y₁•y₂=8，得k_A'E+k_A'F=0．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．