Question

一個多面體的三視圖和直觀圖如下：
（1）求證：MN∥平面CDEF；
（2）求證：MN⊥AH；
（3）求多面體A-CDEF的體積．

Answer 1

解：由三視圖知，該多面體是底面為等腰直角三角形的直三棱柱，側(cè)面ABCD和側(cè)面ABFE為邊長為2的正方形．如圖，
（1）在正方形ABFE中，
連接BE，則BE與AF交于中點M，
連接EC，在△BEC中，M，N分別是BE，BC的中點，
故中位線MN∥EC，
而MN?面CDEF，EC?面CDEF
∴MN∥面CDEF．
（2）∵△ADE為等腰直角三角形，且H為斜邊DE的中點，
∴AH⊥DE ①
又因為該多面體是直三棱柱，故側(cè)棱EF⊥面ADE，而AH?面ADE，
故AH⊥EF ②
綜合①②，且DE∩EF=E，DE?面DCFE，EF?面DCFE，
∴AH⊥面DCFE，而EC?面DCFE
∴AH⊥EC，
由（1）可知，MN∥EC，
∴AH⊥MN
（3）由（2）可知AH⊥面DCFE，所以AH為四棱錐A-CDEF的高，且AH=，
∴=．
分析：（1）證明線面平行，可借助于線面平行的判定定理，連接BE，可知M為BE的中點，同時考慮到N為BC中點，連接CE后得到MN為三角形BEC的中位線，說明MN平行于EC，然后運用線面平行的判定定理得證；
（2）證明MN⊥AH，可轉(zhuǎn)化為證明EC⊥AH，要證明AH⊥EC，可證明AH⊥面DCFE，因為AH⊥DE，根據(jù)三棱柱為直三棱柱，說明AH⊥EF，從而得到AH⊥面DCFE；
（3）根據(jù)（1）和（2）的證明，能夠說明AH為四棱錐A-DCFE的高，AH易求，直接代入棱錐體積公式求體積．
點評：本題考查了由三視圖還原實物圖，考查了線面平行的判定及線面垂直的性質(zhì)，考查了學(xué)生對平行投影的理解，訓(xùn)練了分析和解決問題的能力，此題屬中檔題．