如圖,已知直線L:的右焦點F,且交橢圓C于A、B兩點,點A、B在直線G:x=a2上的射影依次為點D、E.
(1)若拋物線的焦點為橢圓C 的上頂點,求橢圓C的方程;(2)(理科生做)連接AE、BD,試探索當m變化時,直線AE、BD是否相交于一定點N?若交于定點N,請求出N點的坐標,并給予證明;
否則說明理由.
(文科生做)若為x軸上一點,求證:

【答案】分析:(1)先由已知得b=以及c=1,即可求出橢圓C的方程;
(2)(理科生做)先讓m取0,求出點N的坐標,再猜想:當m變化時,AE與BD相交于此定點N.先利用斜率相等證明A、N、E三點共線同理可得B、N、D三點共線,即可證明結(jié)論.
(文科生做)直接求直線AN和直線NE的斜率,利用上面的過程得到二者斜率相等即可證明結(jié)論.
解答:解:(1)易知b=⇒b2=3,
又F(1,0),c=1,∴a2=b2+c2=4.
所以橢圓C的方程為:=1.
(2)(理科生做)因為F(1,0),k=(a2,0)
先探索,當m=0時,直線L⊥ox軸,則ABED為矩形,由對稱性知,AE與BD相交于FK中點N,且
猜想:當m變化時,AE與BD相交于定點
證明:設(shè)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),E(a2,y2),D(a2,y1),
當m變化時首先AE過定點N.
⇒(a2+b2m2)y2+2mb2y+b2(1-a2)=0.△4a2b2(a2+m2b2-1)>0,(因為a>1)
且.y1+y2=-   ①,y1•y2=    ②.
因為KAN=,KEN=
所以kAN-KEN=    ③,
把①②代入③整理得KAN-KEN=0.
∴KAN=KEN∴A、N、E三點共線同理可得B、N、D三點共線
∴AE與BD相交于定點
(文科生做).直接求出直線AN和直線NE的斜率,利用上面的推導過程可以得到二者斜率相等,故A、N、E三點共線.即可得:
點評:題主要考查橢圓的標準方程,直線與橢圓的位置關(guān)系以及直線和直線之間的關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力,運算求解能力及創(chuàng)新意識,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,數(shù)形結(jié)合思想以及特殊與一般思想.
練習冊系列答案
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如圖,已知直線L:的右焦點F,且交橢圓C于

A、B兩點.

(1)求橢圓C的方程;

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(1)若拋物線數(shù)學公式的焦點為橢圓C的上頂點,求橢圓C的方程;
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