Question

已知一個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示，其中俯視圖是頂角為120°的等腰三角形，則該三棱錐的外接球體積為

 

．

Answer 1

分析：幾何體是一個(gè)底面是頂角為120°且底邊長(zhǎng)是2

3

，在等腰三角形的頂點(diǎn)處有一條垂直于底面的側(cè)棱，側(cè)棱長(zhǎng)是2，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，寫(xiě)出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)和設(shè)出球心的坐標(biāo)，根據(jù)各個(gè)點(diǎn)到球心的距離相等，點(diǎn)的球心的坐標(biāo)，點(diǎn)的半徑，做出體積．

解答：解：由三視圖知，幾何體是一個(gè)底面是頂角為120°且底邊長(zhǎng)是2

3

，底邊上的高是1，
在等腰三角形的頂點(diǎn)處有一條垂直于底面的側(cè)棱，側(cè)棱長(zhǎng)是2，
以D為原點(diǎn)，DB為x軸，DA為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則D（0，0，0），A（0，0，2），B（2，0，0），C（-1，

3

，0）
∵（x-2）²+y²+z²=x²+y²+z²，①
x²+y²+（z-2）²=x²+y²+z²，②
(x+1)2+(y-

3

)2+z2=x2+y2+z2，③
∴x=1，y=

3

，z=1，
∴球心的坐標(biāo)是（1，

3

，1），
∴球的半徑是

12+( 3 )2+12

=

5

∴球的體積是

4

3

π×(

5

)3=

20 5 π

3

，
故答案為：

20 5 π

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查由三視圖求幾何體的體積，考查由三視圖還原幾何體，考查三棱錐與外接球之間的關(guān)系，考查利用空間向量解決立體幾何問(wèn)題．