Question

 （本題滿(mǎn)分16分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿(mǎn)分4分，第2小題滿(mǎn)分6分、第3小題滿(mǎn)分6分．

已知的頂點(diǎn)在橢圓上，在直線上，

且．

（1）求邊中點(diǎn)的軌跡方程；

（2）當(dāng)邊通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，求的面積；

（3）當(dāng)，且斜邊的長(zhǎng)最大時(shí)，求所在直線的方程．

Answer 1

（1）（2）

（3）

解析:

（1）設(shè)所在直線的方程為

由得．                 （2分）

因?yàn)?img width=40 height=19 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/119/396919.gif" >在橢圓上，所以．

設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，中點(diǎn)為

則， ，

所以中點(diǎn)軌跡方程為           （4分）

（2），且邊通過(guò)點(diǎn)，故所在直線的方程為．

此時(shí)，由（1）可得，所以   （6分）

又因?yàn)?img width=27 height=17 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/115/396915.gif" >邊上的高等于原點(diǎn)到直線的距離，所以       （8分）

．                                       （10分）

（3）由（1）得，，

所以．                          （12分）

又因?yàn)?img width=27 height=19 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/145/396945.gif" >的長(zhǎng)等于點(diǎn)到直線的距離，即．  （14分）

所以．

所以當(dāng)時(shí)，邊最長(zhǎng)，（這時(shí)）

此時(shí)所在直線的方程為．                          （16分）