Question

3．已知拋物線方程y²=2px（p＞0），點A（x₁，y₁），點B（x₂，y₂）是拋物線上的兩個動點，A、B兩點分別位于x軸兩側(cè)，已知當(dāng)OA⊥OB時，x₁x₂=4p²，y₁y₂=-4p²，且直線AB過定點（2p，0）
（1）若$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=3，當(dāng)p=1時，求x₁x₂，y₁y₂的值；
（2）若$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=t（t≥0），試證明直線AB過定點，并求出定點坐標；
（3）在（2）條件下，k_OA為直線OA的斜率，k_OB為直線OB的斜率，若弦AB中點M在直線y=2上，證明k_OA+K_OB為定值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得y²=2x，設(shè)直線方程為x=my+n（m＞0），與拋物線方程聯(lián)立，整理可得y²-2my-2n=0，利用$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=3，結(jié)合韋達定理，即可求x₁x₂，y₁y₂的值；
（2）若$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=t（t≥0），與（1）同法，求出n，即可證明直線AB過定點，并求出定點坐標；
（3）在（2）條件下，確定AB的中點（2m+n，2），利用韋達定理，證明k_OA+K_OB為定值．

解答 解：（1）由題意可得y²=2x，
設(shè)直線方程為x=my+n（m＞0），
與拋物線方程聯(lián)立，整理可得y²-2my-2n=0，
∴y₁+y₂=2m，y₁y₂=-2n，
∵$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=3，∴x₁x₂+y₁y₂=3，
代入整理可得n²-2n-3=0，
∴n=3或n=-1（舍去）
∴y₁y₂=-6，x₁x₂=9；
（2）由（1）可知，直線方程x=my+n（m＞0），與y²=2px聯(lián)立，整理可得y²-2pmy-2pn=0，
∴y₁+y₂=2pm，y₁y₂=-2pn，
∵$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=6，∴x₁x₂+y₁y₂=6，
代入整理可得n²-2pn-6=0，
∴n=p+$\sqrt{{p}^{2}+6}$或n=p-$\sqrt{{p}^{2}+6}$（舍去）
∴直線AB過定點（p+$\sqrt{{p}^{2}+6}$，0）；
（3）由（2）可得，AB的中點（pm²+n，pm），
∵弦AB中點M在直線y=2上，
∴pm=2，
∴AB的中點（2m+n，2），
∴k_OA+k_OB=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=$\frac{2m{y}_{1}{y}_{2}+n（{y}_{1}+{y}_{2}）}{{m}^{2}{y}_{1}{y}_{2}+mn（{y}_{1}+{y}_{2}）+{n}^{2}}$=-$\frac{4}{n}$=-$\frac{4}{p+\sqrt{{p}^{2}+6}}$為定值．

點評 本題考查直線與拋物線的性質(zhì)和應(yīng)用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答