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已知函數f（x）=ln（1+x2）+ax，其中a為不大于零的常數．
（1）討論f（x）的單調性；
（2）證明：(1+
1
22
)(1+
1
42
)•…•(1+
1
22n
)＜e（n∈N*，e為自然對數的底數）．
（1）f′(x)=
2x
1+x2
+a=
ax2+2x+a
1+x2
，（1分）
①當a=0時，∵f'（x）＞0?2x＞0，即x＞0，f'（x）＜0?2x＜0，即x＜0，
∴f（x）在（0，+∞）單調遞增，在（-∞，0）單調遞減；（3分）
②當
a＜0
△≤0
，即a≤-1時，f′（x）≤0對x∈R恒成立，
∴f（x）在（-∞，+∞）上單調遞減；（5分）
③當-1＜a＜0時，∵f′（x）＞0?ax2+2x+a＞0?
-1+
1-a2
a
＜x＜
-1-
1-a2
a
，
f′（x）＜0?ax2+2x+a＜0?x＜
-1+
1-a2
a
或x＞
-1-
1-a2
a
，
∴f(x)在(
-1+
1-a2
a
，
-1-
1-a2
a
)上單調遞增，
在(-∞，
-1+
1-a2
a
)和(
-1-
1-a2
a
，+∞)上單調遞減；  （7分）
綜上所述，當a≤-1時，f（x）在（-∞，+∞）上單調遞減，
當-1＜a＜0時，f（x）在(
-1+
1-a2
a
，
-1-
1-a2
a
)上單調遞增，
在(-∞，
-1+
1-a2
a
)和(
-1-
1-a2
a
，+∞)上單調遞減．
當a=0時，f（x）在（0，+∞）單調遞增，在（-∞，0）上單調遞減；（8分）
（2）由（1）知，當a=-1時，f（x）在（-∞，+∞）上單調遞減，
當x∈（0，+∞）時，由f（x）＜f（0）=0得：ln（1+x2）＜x，（10分）
∴ln[(1+
1
22
)(1+
1
42
)•…•(1+
1
22n
)]=ln(1+
1
22
)+ln(1+
1
42
)+…+ln(1+
1
22n
)＜
1
2
+
1
4
+…+
1
2n
=
1
2
(1-
1
2n
)
1-
1
2
=(1-
1
2n
)＜1=lne，
∴(1+
1
22
)(1+
1
42
)•…•(1+
1
22n
)＜e（14分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）當a=1時，若直線l：y=kx-2與曲線y=f（x）在（-∞，0）上有公共點，求k的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函數y=f（x）的最小值；
（2）證明：對任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）對于函數f（x）圖象上的不同兩點A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數f（x）圖象上存在點M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得點M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當x0=
x1+x2
2
時，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問：當x≥e時，對于函數f（x）圖象上不同兩點A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結論．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y-1=0垂直，若數列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2012的值為（　�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函數f（x）的極值點；
（Ⅱ）若直線l過點（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）試就實數a的不同取值，寫出該函數的單調增區(qū)間；
（2）已知當x＞0時，函數在（0，
6
）上單調遞減，在（
6
，+∞）上單調遞增，求a的值并寫出函數的解析式；
（3）記（2）中的函數圖象為曲線C，試問是否存在經過原點的直線l，使得l為曲線C的對稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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