Question

設函數f（x）是定義在（-2，0）上的可導函數，其導函數為f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x²，則不等式（x+2014）²f（x+2014）-f（-1）＞0的解集為

 

．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：根據條件，構造函數，利用函數的單調性和導數之間的關系，將不等式進行轉化即可得到結論．

解答： 解由2f（x）+xf′（x）＞x²，（-2＜x＜0），
得：2xf（x）+x²f′（x）＜x³，
即[x²f（x）]′＜x³＜0，
令F（x）=x²f（x），
則當-2＜x＜0時，
得F′（x）＜0，即F（x）在（-2，0）上是減函數，
∴F（x+2014）=（x+2014）²f（x+2014），F（-1）=f（-1），
即不等式等價為F（x+2014）-F（-1）＞0，
即F（x+2014）＞F（-1），
∵F（x）在（-2，0）是減函數，
∴由F（x+2014）＞F（-1）得，
-2＜x+2014＜-1，
即-2016＜x＜-2015，
故答案為：（-2016，-2015）

點評：本題主要考查不等式的解法，利用條件構造函數，利用函數單調性和導數之間的關系是解決本題的關鍵．