Question

△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，三邊長a、b、c成等比數(shù)列．
（I）若∠B=

π

3

，求證△ABC為正三角形；  
（II）若∠B=

π

6

，求sin(2A+

π

3

)的值．

Answer 1

分析：（I）由a，b及c成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的性質(zhì)得到關(guān)于a，b及c的關(guān)系式，然后再利用余弦定理表示出cosB，把得到的關(guān)系式及cosB的值代入，化簡整理后得到a=c，即三角形ABC為等腰三角形，再加上B為

π

3

，即可得到三角形ABC為等邊三角形；
（II）由B的度數(shù)，利用三角形的內(nèi)角和定理得到A+C的度數(shù)，用B表示出A，再利用正弦定理化簡第一問得到的關(guān)系式b²=ac，把B的度數(shù)及表示出的A代入，利用特殊角的三角形函數(shù)值及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，接著再利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，最后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡，即可得到sin（2A+

π

3

）的值．

解答：解：（I）由a、b、c成等比數(shù)列可得b²=ac，（2分）
若∠B=

π

3

，由余弦定理cosB=

a2+c2-b2

2ac

，
可得

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

=cos

π

3

=

1

2

，（3分）
即（a-c）²=0，所以a=c，又∠B=

π

3

，
故△ABC為正三角形；（5分）
（II）由b²=ac及正弦定理可得：sin²B=sinAsinC，（7分）
當(dāng)∠B=

π

6

時(shí)，可得sin2

π

6

=sinAsin(

5π

6

-A)，
即

1

4

=sinAsin(

5π

6

-A)=sinA(sin

5π

6

cosA-cos

5π

6

sinA)=

1

2

sinAcosA-

3

2

sin2A，（9分）
即

1

4

sin2A-

3

4

(1-cos2A)=

1

4

sin2A+

3

4

cos2A-

3

4

=

1

4

，（11分）
所以

1

2

sin2A+

3

2

cos2A=

1+ 3

2

，
故sin(2A+

π

3

)=

1+ 3

2

．（13分）

點(diǎn)評：此題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，正弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，熟練掌握公式及定理，依據(jù)公式定理進(jìn)行準(zhǔn)確靈活變形是解本題的關(guān)鍵．