若函數(shù)f(x)=
3
+
3
cos2x
2sin(
π
2
-x)
-2a sin
x
2
cos(π-
x
2
)(a＞0)的最大值為2．
（1）試確定常數(shù)a的值；
（2）若f(α-
π
3
)-4cosα=0，求
cos2α+
1
2
sin2α
sin2α-cos2α
的值．
分析：（1）利用三角函數(shù)的和與差的公式結(jié)合輔助角公式將f（x）化簡為：f（x）=
a2+3
sin（x+φ）（其中tanφ=
3
a
），依題意列方程即可求得a的值；
（2）由（1）可知，f（x）=2sin（2x+
π
3
），結(jié)合條件f（α-
π
3
）-4cosα=0可求得tanα的值，從而可求
cos2α+
1
2
sin2α
sin2α-cos2α
的值．
解答：解：（1）∵f（x）=
3
+
3
cos2x
2sin(
π
2
-x)
-2asin
x
2
cos（π-
x
2
）
=
2
3
cos2x
2cosx
+asinx…3分
=
3
cosx+asinx（x≠kπ+
π
2
，k∈Z）…4分
=
a2+3
sin（x+φ）（其中tanφ=
3
a
），…5分
由題意可知
a2+3
=2
a＞0
，解得a=1…7分
（2）由（1）可知，f（x）=2sin（x+
π
3
），
∵f（α-
π
3
）-4cosα=0，
∴2sinα-4cosα=0，…8分
∴tanα=2，…10分
∴
cos2α+
1
2
sin2α
sin2α-cos2α

=
cos2α+sinαcosα
sin2α-cos2α

=
1+tanα
tan2α-1

=
1+2
22-1

=1…13分
點評：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，考查輔助角公式的應(yīng)用，考查弦函數(shù)與切函數(shù)的轉(zhuǎn)化，求得f（x）=2sin（2x+
π
3
）是關(guān)鍵，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（實）若函數(shù)f(x)=
3-ax
a-1
在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是
（-∞，0）∪（1，3]
（-∞，0）∪（1，3]
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若函數(shù)f(x)=
(3-a)x-4， x＜1
logax，  x≥1
為（-∞，+∞）上的增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是
1＜a＜3
1＜a＜3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若函數(shù)f(x)=
3+x
mx2-4mx+3
的定義域為R，則實數(shù)m的取值范圍是（　　）
A、（-∞，+∞）
B、(0，
3
4
)
C、(
3
4
，+∞)
D、[0，
3
4
)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

把下面不完整的命題補充完整，并使之成為真命題.若函數(shù)f(x)=3+log2x的圖象與g(x)的圖象關(guān)于________對稱，則函數(shù)g(x)=_______.

(注：填上你認(rèn)為可以成為真命題的一種情形即可.不必考慮所有可能的情形).

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