Question

【題目】已知橢圓C1：（a＞b＞0）與雙曲線 C2：x2﹣有公共的焦點(diǎn)，C2的一條漸近線與以C1的長軸為直徑的圓相交于A，B兩點(diǎn)，若C1恰好將線段AB三等分，則橢圓C1的離心率為 （　�。�

A. e2＝ B. e2＝ C. e2＝ D. e2＝

Answer 1

【答案】A

【解析】

根據(jù)雙曲線方程，確定一條漸近線為y＝2x，可得AB＝2a且AB為題中圓的直徑．由橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，可得a2﹣b2＝5．設(shè)C1與y＝2x在第一象限的交點(diǎn)為C（m，2m），代入C1解出m2＝．再由對(duì)稱性知直線y＝2x被C1截得的弦長CD＝2m，根據(jù)C1恰好將線段AB三等分解出m＝，聯(lián)解可得a2、b2、c2的值，結(jié)合離心率的公式加以計(jì)算，可得答案．

由題意，C2的焦點(diǎn)為（±，0），一條漸近線方程為y＝2x，

根據(jù)對(duì)稱性可知以C1的長軸為直徑的圓交y＝2x于A、B兩點(diǎn)，滿足AB為圓的直徑且AB＝2a

∵橢圓C1與雙曲線C2有公共的焦點(diǎn)，

∴C1的半焦距c＝，可得a2﹣b2＝5，…①

設(shè)C1與y＝2x在第一象限的交點(diǎn)的坐標(biāo)為C（m，2m），

代入C1的方程，解得m2＝，…②

由對(duì)稱性可得直線y＝2x被C1截得的弦長CD＝2m，

結(jié)合題意得2m＝，可得m＝，…③

由②③聯(lián)解，得a2＝11b2…④

再聯(lián)解①④，可得a2＝5.5，b2＝0.5，得c2＝a2﹣b2＝5．

∴橢圓C1的離心率e滿足e2＝＝．

故選：A．