Question

（2011•萬州區(qū)一模）若圓x²+y²-4x-4y-10=0上有且僅有三個(gè)不同點(diǎn)到直線l：y=kx的距離為2

2

，則直線l的傾斜角是（　　）

• A．

  π

  12

  或

  5π

  12

• B．

  π

  12

  或

  π

  4

• C．

  π

  6

  或

  π

  3

• D．0或

  π

  2

Answer 1

分析：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心A的坐標(biāo)和半徑r的值，由圓A上有且僅有三個(gè)不同點(diǎn)到直線l：y=kx的距離為2

2

，則圓心A到直線l的距離等于r-2

2

，故利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于k的方程，求出方程的解得到k的值，然后根據(jù)直線斜率與傾斜角的關(guān)系，利用兩角和與差的正切函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值即可求出直線l的傾斜角．

解答：解：把圓x²+y²-4x-4y-10=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：（x-2）²+（y-2）²=18，
∴圓心A的坐標(biāo)為（2，2），半徑r=3

2

，又直線l的方程為y=kx，
根據(jù)題意畫出圖形得：

根據(jù)圓上有三不同點(diǎn)到直線l：y=kx的距離為2

2

，
得到圓心A到直線l的距離d=

|2k-2|

k2+1

=3

2

-2

2

=

2

，
解得：k=2+

3

或k=2-

3

，
又tan

π

12

=tan（

π

4

-

π

6

）=

1- 3 3

1+ 3 3

=2-

3

，tan

5π

12

=tan（

π

4

+

π

6

）=

1+ 3 3

1- 3 3

=2+

3

，
則直線l的傾斜角是

π

12

或

5π

12

．
故選A

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：點(diǎn)到直線的距離公式，兩角和與差的正切函數(shù)公式，直線斜率與傾斜角的關(guān)系，以及特殊角的三角函數(shù)值，利用了轉(zhuǎn)化及數(shù)形結(jié)合的思想，其中根據(jù)題意得出圓心到直線l的距離為

2

解本題的關(guān)鍵．