Question

已知函數(shù)f（x）=x²+t的圖象與函數(shù)g（x）=ln|x|的圖象有四個交點，則實數(shù)t的取值范圍為______．

Answer 1

由于函數(shù)f（x）和函數(shù)g（x）都是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，故當(dāng)這兩個函數(shù)在（0，+∞）上有2個交點時，函數(shù)f（x）=x²+t的圖象與函數(shù)g（x）=ln|x|的圖象有四個交點．
當(dāng)x＞0時，令 h（x）=f（x）-g（x）=x²+t-lnx，則 h′（x）=2x-

1

x

．
令h′（x）=0可得x=

2

2

，故這兩個函數(shù)的圖象在（0，+∞）上相切時切點的橫坐標(biāo)為x=

2

2

．
當(dāng)x=

2

2

時，f（x）=

1

2

+t，g（x）=ln

1

2

=-ln2，
函數(shù)f（x）=x²+t的圖象與函數(shù)g（x）=ln|x|的圖象有四個交點，應(yīng)有

1

2

+t＜-ln2，
由此可得 t＜-

1

2

-ln2，故實數(shù)m的取值范圍為 （-∞，-

1

2

-ln2），
故答案為 （-∞，-

1

2

-ln2）．