【題目】如圖，在三棱柱中，已知四邊形為矩形，，，，的角平分線交于.

（1）求證:平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）過(guò)點(diǎn)作交于，連接，設(shè)，連接，由角平分線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角形的全等，證得，，由線面垂直的判斷定理證得平面，再由面面垂直的判斷得證.

（2）平面幾何知識(shí)和線面的關(guān)系可證得平面，建立空間直角坐標(biāo)系，求得兩個(gè)平面的法向量，根據(jù)二面角的向量計(jì)算公式可求得其值.

（1）如圖，過(guò)點(diǎn)作交于，連接，設(shè)，連接，，，

又為的角平分線，四邊形為正方形，，

又，，，，，又為的中點(diǎn)，

又平面，，平面，

又平面，平面平面，

（2）在中，，，，在中，，，

又，，，，

又，，平面，平面，

故建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，

，，，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，，

令，得,

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，

，令，得

，由圖示可知二面角是銳角，

故二面角的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)，已知函數(shù)，，，記函數(shù)和的零點(diǎn)個(gè)數(shù)分別是，，則（ ）

A.若，則B.若，則

C.若，則D.若，則

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】隨著年北京冬奧會(huì)臨近，中國(guó)冰雪產(chǎn)業(yè)快速發(fā)展，冰雪運(yùn)動(dòng)人數(shù)快速上升，冰雪運(yùn)動(dòng)市場(chǎng)需求得到釋放，將引領(lǐng)戶(hù)外用品行業(yè)市場(chǎng)增長(zhǎng)．下面是年至年中國(guó)雪場(chǎng)滑雪人次（萬(wàn)人次）與同比增長(zhǎng)率的統(tǒng)計(jì)圖，則下面結(jié)論中不正確的是（ ）

A.年至年，中國(guó)雪場(chǎng)滑雪人次逐年增加

B.年至年，中國(guó)雪場(chǎng)滑雪人次和同比增長(zhǎng)率均逐年增加

C.年與年相比，中國(guó)雪場(chǎng)滑雪人次的同比增長(zhǎng)率近似相等，所以同比增長(zhǎng)人數(shù)也近似相等

D.年與年相比，中國(guó)雪場(chǎng)滑雪人次增長(zhǎng)率約為

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知曲線的極坐標(biāo)方程為，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系，過(guò)點(diǎn)作傾斜角為（）的直線交曲線于、兩點(diǎn).

（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程，并寫(xiě)出直線的參數(shù)方程；

（2）過(guò)點(diǎn)的另一條直線與垂直，且與曲線交于，兩點(diǎn)，求的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為迎接2022年冬奧會(huì)，北京市組織中學(xué)生開(kāi)展冰雪運(yùn)動(dòng)的培訓(xùn)活動(dòng)，并在培訓(xùn)結(jié)束后對(duì)學(xué)生進(jìn)行了考核．記表示學(xué)生的考核成績(jī)，并規(guī)定為考核優(yōu)秀．為了了解本次培訓(xùn)活動(dòng)的效果，在參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了30名學(xué)生的考核成績(jī)，并作成如下莖葉圖：

（Ⅰ）從參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)選取1人，請(qǐng)根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，估計(jì)這名學(xué)生考核優(yōu)秀的概率；

（Ⅱ）從圖中考核成績(jī)滿(mǎn)足的學(xué)生中任取2人，求至少有一人考核優(yōu)秀的概率；

（Ⅲ）記表示學(xué)生的考核成績(jī)?cè)趨^(qū)間的概率，根據(jù)以往培訓(xùn)數(shù)據(jù)，規(guī)定當(dāng)時(shí)培訓(xùn)有效．請(qǐng)根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，判斷此次中學(xué)生冰雪培訓(xùn)活動(dòng)是否有效，并說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某快餐連鎖店，每天以200元的價(jià)格從總店購(gòu)進(jìn)早餐，然后以每份10元的價(jià)格出售．40份以?xún)?nèi)，總店收成本價(jià)每份5元，當(dāng)天不能出售的早餐立即以1元的價(jià)格被總店回收，超過(guò)40份的未銷(xiāo)售的部分總店成本價(jià)回收，然后進(jìn)行環(huán)保處理．如果銷(xiāo)售超過(guò)40份，則超過(guò)40份的利潤(rùn)需上繳總店．該快餐連鎖店記錄了100天早餐的銷(xiāo)售量（單位：份），整理得下表：

日銷(xiāo)售量

25

30

35

40

45

50

頻數(shù)

10

16

28

24

14

8

完成下列問(wèn)題：

（1）寫(xiě)出每天獲得利潤(rùn)與銷(xiāo)售早餐份數(shù)（）的函數(shù)關(guān)系式；

（2）估計(jì)每天利潤(rùn)不低于150元的概率；

（3）估計(jì)該快餐店每天的平均利潤(rùn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖①，在平面五邊形中，是梯形，，，，，是等邊三角形.現(xiàn)將沿折起，連接、得如圖②的幾何體.

（1）若點(diǎn)是的中點(diǎn)，求證：平面；

（2）若，在棱上是否存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐的底面為直角梯形，，，，，平面平面，點(diǎn)在上，且．


（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）當(dāng)異面直線與所成角的余弦值為時(shí)，求二面角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】若函數(shù)在處取得極大值或極小值，則稱(chēng)為函數(shù)的極值點(diǎn).已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；

（2）若在區(qū)間上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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