Question

13．直線y=$\sqrt{3}$x+4與x軸和y軸的交點分別為A，B，以AB為邊做等邊三角形ABC，則頂點C的坐標為（-$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，4）或（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，0）．

Answer 1

分析 分別求出A，B的坐標，根據(jù)勾股定理求出AB的長度，再設(shè)C（x，y），根據(jù)三角形為等邊三角形和點與點的距離公式得到方程組，解的即可．

解答 解：直線y=$\sqrt{3}$x+4與x軸和y軸的交點分別為A，B，
當(dāng)x=0時，y=4，即B（0，4），
當(dāng)y=0時，x=-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，即A（-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，0），
∴OA=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，OB=4，
∴AB²=OA²+0B²=$\frac{16}{3}$+16=16×$\frac{4}{3}$=$\frac{64}{3}$
∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=BC=CA
設(shè)C（x，y），
則$\left\{\begin{array}{l}{（x+\frac{4\sqrt{3}}{3}）^{2}+{y}^{2}=\frac{64}{3}}\\{{x}^{2}+（y-4）^{2}=\frac{64}{3}}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{8\sqrt{3}}{3}}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4\sqrt{3}}{3}}\\{y=0}\end{array}\right.$，
故點C的坐標為（-$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，4）或（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，0）．

點評 本題考查了直線方程和點與點的距離，以及勾股定理，屬于中檔題．