Question

已（12分）知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為，一個焦點(diǎn)是F（0，1）．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）直線過點(diǎn)F交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且，求直線的方程．

Answer 1

（Ⅰ）．（Ⅱ）．

試題分析： （1）根據(jù)已知中的條件得到離心率和a的關(guān)系式，進(jìn)而得到橢圓的方程。
（2）對于直線斜率是否存在要給予討論，并聯(lián)立方程組的思想，結(jié)合韋達(dá)定理和向量關(guān)系式得到k的方程，求解得到k的值。
解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為（>b>0）．
依題意，, c=1，，，………………………………2分
∴所求橢圓方程為 ．………4分
（Ⅱ）若直線的斜率k不存在，則不滿足．
當(dāng)直線的斜率k存在時，設(shè)直線的方程為．因為直線過橢圓的焦點(diǎn)F（0，1），所以取任何實(shí)數(shù), 直線與橢圓均有兩個交點(diǎn)A、B．
設(shè)A 
聯(lián)立方程   消去y，
得．…………6分
，     ①
，                 ②
由F（0，1），A，
則，
，∴，
得．……………………8分
將代入①、②，
得， ③
， ④……………10分
由③、④ 得，，
化簡得，解得，.∴直線的方程為：．12分
點(diǎn)評：解決該試題的關(guān)鍵是熟練掌握橢圓的幾何性質(zhì)，根據(jù)其性質(zhì)得到參數(shù)a,b的值，進(jìn)而得到其方程。同時聯(lián)立方程組，結(jié)合向量的關(guān)系式和韋達(dá)定理得到從那數(shù)k的值。