Question

已知函數(shù)y=sin²x+2sinxcosx+3cos²x，x∈R．
（1）求該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）求該函數(shù)的最大值及對應(yīng)的x的值；
（3）求該函數(shù)的對稱軸方程與對稱中心坐標(biāo)．

Answer 1

解：y=sin²x+2sinxcosx+3cos²x=
=sin2x+cos2x+2=．（5分）
（1）由，得．
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（8分）
（2）令，得，
所以當(dāng)時，．（12分）
（3）由，得，
所以該函數(shù)的對稱軸方程為．
由，得，
所以，該函數(shù)的對稱中心為：．（16分）
分析：（1）利用二倍角公式，降次升角，以及兩角和的正弦函數(shù)，化簡函數(shù)y=sin²x+2sinxcosx+3cos²x為y=，利用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，求該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）利用正弦函數(shù)的最值以及取得最值時的x值，直接求該函數(shù)的最大值及對應(yīng)的x的值；
（3）利用正弦函數(shù)的對稱軸和對稱中心，直接求該函數(shù)的對稱軸方程與對稱中心坐標(biāo)．
點評：本題是基礎(chǔ)題，考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，對稱軸方程，對稱中心，最值，利用基本函數(shù)的基本性質(zhì)，是集合本題的關(guān)鍵，基本知識掌握的好壞，直接影響解題效果．