【題目】已知四棱錐的底面是直角梯形，，，且，，為的中點(diǎn).

求證：；

求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】證明見(jiàn)解析；.

【解析】

利用勾股定理，線面垂直的判定定理和性質(zhì)求證即可.

以為原點(diǎn)，分別以，所在直線為軸，軸，過(guò)點(diǎn)且與平行的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，進(jìn)而求出，設(shè)直線與平面所成角為，即可利用公式求出直線與平面所成角的正弦值.

解：因?yàn)?/span>，

所以，

又為的中點(diǎn)，

所以，，

連接，在中，為的中點(diǎn)，

所以.

因?yàn)?/span>，

所以，

又，

所以平面.

又平面，

所以.

如圖，以為原點(diǎn)，分別以，所在直線為軸，軸，過(guò)點(diǎn)且與平行的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

由，得

令，可得.

設(shè)直線與平面所成角為，

則.

即直線與平面所成角的正弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得“對(duì)任意恒成立”？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若，且，求證：；

（2）若時(shí)，恒有，求的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】下列命題：

①對(duì)立事件一定是互斥事件；②若A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A，B，C彼此互斥，則P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A，B滿(mǎn)足P(A)＋P(B)＝1，則A與B是對(duì)立事件．

其中正確命題的個(gè)數(shù)是(　　)

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】長(zhǎng)春市統(tǒng)計(jì)局對(duì)某公司月收入在元內(nèi)的職工進(jìn)行一次統(tǒng)計(jì)，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫(huà)出樣本的頻率分布直方圖（每個(gè)分組包括左端點(diǎn)，不包括右端點(diǎn)，如第一組表示職工月收入在區(qū)間內(nèi)，單位：元）.

（Ⅰ）請(qǐng)估計(jì)該公司的職工月收入在內(nèi)的概率；

（Ⅱ）根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如今我們的互聯(lián)網(wǎng)生活日益豐富，除了可以很方便地網(wǎng)購(gòu)，網(wǎng)絡(luò)外賣(mài)也開(kāi)始成為不少人日常生活中重要的一部分，其中大學(xué)生更是頻頻使用網(wǎng)絡(luò)外賣(mài)服務(wù).市教育主管部門(mén)為掌握網(wǎng)絡(luò)外賣(mài)在該市各大學(xué)的發(fā)展情況，在某月從該市大學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查了人，并將這人在本月的網(wǎng)絡(luò)外賣(mài)的消費(fèi)金額制成如下頻數(shù)分布表（已知每人每月網(wǎng)絡(luò)外賣(mài)消費(fèi)金額不超過(guò)元）：

消費(fèi)金額（單位：百元）

頻數(shù)

由頻數(shù)分布表可以認(rèn)為，該市大學(xué)生網(wǎng)絡(luò)外賣(mài)消費(fèi)金額（單位：元）近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)（每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中點(diǎn)值，）.現(xiàn)從該市任取名大學(xué)生，記其中網(wǎng)絡(luò)外賣(mài)消費(fèi)金額恰在元至元之間的人數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望；

市某大學(xué)后勤部為鼓勵(lì)大學(xué)生在食堂消費(fèi)，特地給參與本次問(wèn)卷調(diào)查的大學(xué)生每人發(fā)放價(jià)值元的飯卡，并推出一檔“勇闖關(guān)，送大獎(jiǎng)”的活動(dòng).規(guī)則是：在某張方格圖上標(biāo)有第格、第格、第格、…、第格共個(gè)方格.棋子開(kāi)始在第格，然后擲一枚均勻的硬幣（已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是，其中），若擲出正面，將棋子向前移動(dòng)一格（從到），若擲出反面，則將棋子向前移動(dòng)兩格（從到）.重復(fù)多次，若這枚棋子最終停在第格，則認(rèn)為“闖關(guān)成功”，并贈(zèng)送元充值飯卡；若這枚棋子最終停在第格，則認(rèn)為“闖關(guān)失敗”，不再獲得其他獎(jiǎng)勵(lì)，活動(dòng)結(jié)束.

①設(shè)棋子移到第格的概率為，求證：當(dāng)時(shí)，是等比數(shù)列；

②若某大學(xué)生參與這檔“闖關(guān)游戲”，試比較該大學(xué)生闖關(guān)成功與闖關(guān)失敗的概率大小，并說(shuō)明理由.

參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)

（1）判斷的單調(diào)性；

（2）當(dāng)在上恒成立時(shí)，求的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最小值．

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（1）求直線和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2），直線和曲線交于、兩點(diǎn)，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知是無(wú)窮等比數(shù)列，若的每一項(xiàng)都等于它后面所有項(xiàng)的倍，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.

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