Question

用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利（Bernoulli）不等式：如果x是實(shí)數(shù)，且x＞-1，x≠0，n為大于1的自然數(shù)，那么有（1+x）ⁿ＞1+nx．

Answer 1

分析：先證明n=2時(shí)結(jié)論成立，再假設(shè)n=k（k≥2）時(shí)，不等式成立，利用假設(shè)證明當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立即可．

解答：證明：（1）當(dāng)n=2時(shí)，∵x≠0，∴（1+x）²=1+2x+x²＞1+2x，不等式成立；
（2）假設(shè)n=k（k≥2）時(shí)，不等式成立，即（1+x）^k＞1+kx
當(dāng)n=k+1時(shí)，（1+x）^k+1＞（1+x）（1+kx）=1+x+kx+kx²＞1+（k+1）x
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立
由（1）（2）可知，不等式成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)學(xué)歸納法，考查不等式的證明，正確運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟是關(guān)鍵．