Question

已知

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），

a

•

b

=

1

3

，cosα=

1

7

，0＜β＜α＜

π

2

，求sinβ的值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值

分析：要求sinβ，可通過角的變換β=α-（α-β），運(yùn)用兩角差的正弦公式，由cosα=

1

7

，0＜α＜

π

2

，根據(jù)平方關(guān)系求出sinα，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得cos（α-β），由0＜β＜α＜

π

2

，通過平方關(guān)系求出sin（α-β），代入即可．

解答： 解：∵cosα=

1

7

，0＜α＜

π

2

，
∴sinα=

1-cos2α

=

1-( 1 7 )2

=

4 3

7

，
∵

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），

a

•

b

=

1

3

，
∴cosαcosβ+sinαsinβ=

1

3

，即cos（α-β）=

1

3

，
∵0＜β＜α＜

π

2

，∴0＜α-β＜

π

2

，
∴sin（α-β）=

1-cos2(α-β)

=

1-( 1 3 )2

=

2 2

3

，
∴sinβ=sin[α-（α-β）]
=sinαcos（α-β）-cosαsin（α-β）
=

4 3

7

×

1

3

-

1

7

×

2 2

3

=

4 3 -2 2

21

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩角和與差的正弦函數(shù)及其運(yùn)用，考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，以及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，還考查三角運(yùn)算中的角的變換即用已知的角表示未知角，值得重視．