【題目】如圖，多面體中，是正方形，，，，且，，、分別為棱、的中點(diǎn)．

（1）求證：平面；

（2）求平面和平面所成銳二面角的余弦值．

【答案】（1）證明見解析，（2）

【解析】

（1）首先根據(jù)已知條件易證平面，從而得到，又根據(jù)得到平面，根據(jù)中位線得到，得到平面，根據(jù)，是中點(diǎn)，得到，再根據(jù)線面垂直的判定即可證明平面.

（2）以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面和平面的法向量，再代入二面角公式計(jì)算即可.

（1）因?yàn)?/span>，，

所以，即.

平面.

又因?yàn)?/span>平面，所以.

因?yàn)樗倪呅?/span>是正方形，所以.

平面.

因?yàn)?/span>，四邊形是正方形，所以.

又因?yàn)?/span>、分別為棱、的中點(diǎn)，所以.

所以平面.

又因?yàn)?/span>平面，所以.

因?yàn)?/span>，是中點(diǎn)，所以.

平面.

（2）以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，

如圖所示：

則，，，，

所以，

平面的一個(gè)法向量為，

由，得，令，則.

由（1）可知平面

所以平面的一個(gè)法向量為，

設(shè)平面和平面所成銳二面角為，

則

所以平面和平面所成銳二面角的余弦值為．

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，M為AB的中點(diǎn)，將△ADM沿DM翻折．在翻折過程中，當(dāng)二面角A—BC—D的平面角最大時(shí)，其正切值為（ ）

A. B. C. D.

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【題目】一布袋中裝有個(gè)小球，甲，乙兩個(gè)同學(xué)輪流且不放回的抓球，每次最少抓一個(gè)球，最多抓三個(gè)球，規(guī)定：由乙先抓，且誰(shuí)抓到最后一個(gè)球誰(shuí)贏，那么以下推斷中正確的是（ ）

A. 若，則乙有必贏的策略B. 若，則甲有必贏的策略

C. 若，則甲有必贏的策略D. 若，則乙有必贏的策略

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【題目】甲乙兩人進(jìn)行某種游戲比賽，規(guī)定：每一次勝者得1分，負(fù)者得0分；當(dāng)其中一人的得分比另一人的得分多2分時(shí)即贏得這場(chǎng)游戲，比賽隨之結(jié)束.同時(shí)規(guī)定：比賽次數(shù)最多不超過20次，即經(jīng)20次比賽，得分多者贏得這場(chǎng)游戲，得分相等為和局.已知每次比賽甲獲勝的概率為可，乙獲勝的概率為.假定各次比賽的結(jié)果是相互獨(dú)立的，比賽經(jīng)次結(jié)束.求的期望的變化范圍.

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【題目】設(shè)等比數(shù)列｛｝的公比為 q(q > 0，q = 1)，前 n 項(xiàng)和為 Sn，且 2a1a3 = a4，數(shù)列｛｝的前 n 項(xiàng)和 Tn 滿足2Tn = n(bn - 1)，n ∈N＊，b2 = 1.

(1) 求數(shù)列 ｛｝，｛｝的通項(xiàng)公式；

(2) 是否存在常數(shù) t，使得 {Sn+ } 為等比數(shù)列？說明理由；

(3) 設(shè) cn =，對(duì)于任意給定的正整數(shù) k(k ≥2), 是否存在正整數(shù) l，m(k < l < m), 使得 ck，c1，cm 成等差數(shù)列？若存在，求出 l，m（用 k 表示），若不存在，說明理由.

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【題目】為保障食品安全，某地食品藥監(jiān)管部門對(duì)轄區(qū)內(nèi)甲、乙兩家食品企業(yè)進(jìn)行檢查，分別從這兩家企業(yè)生產(chǎn)的某種同類產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了100件作為樣本，并以樣本的一項(xiàng)關(guān)鍵質(zhì)量指標(biāo)值為檢測(cè)依據(jù)．已知該質(zhì)量指標(biāo)值對(duì)應(yīng)的產(chǎn)品等級(jí)如下：

質(zhì)量指標(biāo)值

[15，20）

[20，25）

[25，30）

[30，35）

[35，40）

[40，45]

等級(jí)

次品

二等品

一等品

二等品

三等品

次品

根據(jù)質(zhì)量指標(biāo)值的分組，統(tǒng)計(jì)得到了甲企業(yè)的樣本頻率分布直方圖和乙企業(yè)的樣本頻數(shù)分布表（如下面表，其中a＞0）．

質(zhì)量指標(biāo)值

頻數(shù)

[15，20）

2

[20，25）

18

[25，30）

48

[30，35）

14

[35，40）

16

[40，45]

2

合計(jì)

100

（Ⅰ）現(xiàn)從甲企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，試估計(jì)該件產(chǎn)品為次品的概率；

（Ⅱ）為守法經(jīng)營(yíng)、提高利潤(rùn)，乙企業(yè)開展次品生產(chǎn)原因調(diào)查活動(dòng)．已知乙企業(yè)從樣本里的次品中隨機(jī)抽取了兩件進(jìn)行分析，求這兩件次品中恰有一件指標(biāo)值屬于[40，45]的產(chǎn)品的概率；

（Ⅲ）根據(jù)圖表數(shù)據(jù)，請(qǐng)自定標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)甲、乙兩企業(yè)食品質(zhì)量的優(yōu)劣情況進(jìn)行比較．

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【題目】執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的m=1，則輸出數(shù)據(jù)的總個(gè)數(shù)為（　�。�

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

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【題目】已知雙曲線C：(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±x，右頂點(diǎn)為(1，0)．

(1)求雙曲線C的方程；

(2)已知直線y＝x＋m與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且線段AB的中點(diǎn)為，當(dāng)x0≠0時(shí)，求的值．

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（1）求證：平面ABE⊥平面B1BCC1；

（2）求證：C1F//平面ABE．

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