Question

本小題滿分10分
已知二次函數(shù)（其中）.
(1)若函數(shù)為偶函數(shù)，求的值；
(2)當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)，若函數(shù)，指出在上單調(diào)性情況，并證明之.

Answer 1

（1） ；（2）見(jiàn)解析。

本試題主要是考查了二次函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用。
（1）為偶函數(shù)，即對(duì)任意， 
即，即對(duì)任意恒成立，得到a的值為零。
（2）由（1），若為偶函數(shù)，則，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，然后結(jié)合定義法證明。
解：（1）為偶函數(shù)，即對(duì)任意，……………2分
即，即對(duì)任意恒成立  ……………3分
                                                                     ……………4分
（2）由（1），若為偶函數(shù)，則，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，證明如下：      ……………5分
設(shè)任意，且
         ……………7分
，且，，即
，即即
在上單調(diào)遞減           ……………9分
同理，可得在上單調(diào)遞增           ……………10分