Question

5．設函數f（x）=x³-6x+5，x∈R．
（1）求f（x）的單調區(qū)間和極值；
（2）若關于x的方程f（x）=a有3個不同實根，求實數a的取值范圍．
（3）已知當x∈（1，+∞）時，f（x）≥k（x-1）恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出函數f（x）的導數，從而求出函數的單調區(qū)間和極值；
（2）畫出函數的大致圖象，結合圖象從而求出a的范圍；
（3）問題轉化為k≤x²+x-5在（1，+∞）上恒成立，結合二次函數的性質求出即可．

解答 解：（1）f′（x）=3（x²-2），令f′（x）=0，得x₁=-$\sqrt{2}$，x₂=$\sqrt{2}$
∴，x＜-$\sqrt{2}$或x＞$\sqrt{2}$時，f′（x）＞0，當-$\sqrt{2}＜x＜\sqrt{2}$時，f′（x）＜0，
f（x）的單調遞增區(qū)間（-$∞，-\sqrt{2}$）和（$\sqrt{2}，+∞$），單調遞減區(qū)間是（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），
當x=-$\sqrt{2}$，f（x）有極大值5+4$\sqrt{2}$；
當x=$\sqrt{2}$，f（x）有極小值5-4$\sqrt{2}$．
（2）由（1）可知y=f（x）圖象的大致形狀及走向如圖示：

∴當5-4$\sqrt{2}$＜a＜5+4$\sqrt{2}$時，直線y=a與y=f（x）的圖象有3個不同交點，
即當5-4$\sqrt{2}$＜a＜5+4$\sqrt{2}$時方程f（x）=a有三解．
（3）f（x）≥k（x-1）即（x-1）（x²+x-5）≥k（x-1）
∵x＞1，∴k≤x²+x-5在（1，+∞）上恒成立．
令g（x）=x²+x-5，由二次函數的性質，g（x）在（1，+∞）上是增函數，
∴g（x）＞g（1）=-3
∴所求k的取值范圍是k≤-3．

點評 本題考查了函數的單調性、函數的極值問題，考查導數的應用，二次函數的性質，本題是一道中檔題．