Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+1（a＞0），g（x）=x³+bx。
（1）若曲線y=f（x）與曲線y=g（x）在它們的交點(diǎn)（1，c）處有公共切線，求a，b的值；
（2）當(dāng)a=3，b=-9時(shí)，函數(shù)f（x）+g（x）在區(qū)間[k，2]上的最大值為28，求k的取值范圍。

Answer 1

解：（1）f（x）=ax²+1（a＞0），則f'（x）=2ax，k₁=2a，g（x）=x³+bx，則f'（x）=3x²+b，k₂=3+b，由（1，c）為公共切點(diǎn)，可得：2a=3+b  ①
又f（1）=a+1，g（1）=1+b，
∴a+1=1+b，即a=b，代入①式可得：a=3，b=3。
（2）當(dāng)a=3，b=-9時(shí)，設(shè)h（x）=f（x）+g（x）=x³+3x²-9x+1
則h′（x）=3x²+6x-9，令h'（x）=0，解得：x₁=-3，x₂=1；
∴k≤-3時(shí)，
函數(shù)h（x）在（-∞，-3）上單調(diào)增，在（-3，2]上單調(diào)減，所以在區(qū)間[k，2]上的最大值為h（-3）=28 -3＜k＜2時(shí)，
函數(shù)h（x）在在區(qū)間[k，2]上的最大值小于28
所以k的取值范圍是（-∞，-3] 。