【答案】分析:(1)根據(jù)g(x)的圖象與f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,則f(x+1)=g(1-x)即f(x)=g(2-x),從而可求出函數(shù)f(x)的解析式;
(2)利用當(dāng)x=1時,f(x)取得極值,可求函數(shù)的解析式,從而f(x)=x3-3x(x∈[-1,1])是減函數(shù),進(jìn)而確定|f(x1)-f(x2)|最小值,證明即可.
(3)分類討論:f(x)在[1,+∞)是減函數(shù),時a不存在;f(x)在[1,+∞)是增函數(shù),即a≤3x2在[1,+∞)上恒成立.故a≤3. 從而可證.
解答:解:(1)∵f(x)與g(x)的圖象關(guān)于x=1對稱,
設(shè)點M(x,f(x))是f(x)上的任意一點.則點M關(guān)于x=1的對稱點(2-x,g(2-x))在函數(shù)g(x)的圖象上.
∴f(x)=g(2-x)=-ax+x3. …(3分)
(2)f′(x)=-a+3x2,又x=1是函數(shù)f(x)的一個極值點,
∴f′(1)=0⇒-a+3=0,得a=3,…(4分)
故f(x)=-3x+x3.f′(x)=-3+3x2=-3(x+1)(x-1),當(dāng)x∈[-1,1],f′(x)≤0,
∴f(x)在[-1,1]上是減函數(shù). …(5分)fmin(x)=f(1)=-2,fmax(x)=f(-1)=2,…(7分)
故對任意x1,x2∈(-1,1),有|f(x1)-f(x2)|<|2-(-2)|=4. …(8分)
(3)若f(x)在[1,+∞)是減函數(shù),則f′(x)=-a+3x2<0在[1,+∞)上恒成立.
即a≥3x2在[1,+∞)上恒成立,此時a不存在; …(9分)
若f(x)在[1,+∞)是增函數(shù),即a≤3x2在[1,+∞)上恒成立.故a≤3. …(11分)
設(shè)f(x)>x≥1則f[f(x)]>f(x),∴x>f(x)矛盾,…(13分)
若x>f(x)≥1則f(x)>f[f(x)]∴f(x)>x矛盾!
故f(x)=x. …(15分)
點評:本題主要考查了函數(shù)的奇偶性、對稱性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,以及函數(shù)的解析式的求解和恒成立的證明,考查綜合分析和解決問題的能力.