Question

如圖，三棱柱中，⊥面，，

，為的中點.

    （Ⅰ）求證：；

　  （Ⅱ）求二面角的余弦值；

    （Ⅲ）在側(cè)棱上是否存在點，使得

？請證明你的結(jié)論.

 

Answer 1

【答案】

見解析.

【解析】第一問中，利用線面平行的判定定理可以得到OD∥B₁A，又B₁A⊄平面BDC₁，OD⊆平面BDC₁

∴B₁A∥面BDC₁

；第二問中，利用建立空間直角坐標系可以設出法向量，利用法向量的夾角求解二面角的平面角的方法得到。

第三問中，利用假設成立，推出不符合線面垂直的情況，得到一個矛盾，進而得到結(jié)論。

（1）證明：連接B1C，交BC₁于點O，

則O為B1C的中點，

∵D為AC中點，

∴OD∥B₁A，

又B₁A⊄平面BDC₁，OD⊆平面BDC₁

∴B₁A∥面BDC1（4分）

（2）解：∵AA₁⊥平面ABC，BC⊥AC，AA₁∥CC₁，

∴CC₁⊥面ABC，

則BC⊥平面AC₁，CC₁⊥AC

如圖建系，則C₁（3，0，0），B（0，0，2），D（0，1，0），C（0，0，0）

∴ C₁D =（-3，1，0）， C₁B =（-3，0，2）

設平面C₁DB的法向量為n=（x，y，z）

則n=（2，6，3）

又平面BDC的法向量為 CC₁ =（3，0，0）

∴二面角C₁-BD-C的余弦值：cos＜ CC₁ ，n＞= (CC₁ .n)/ | CC₁ |，|n| =2/ 7

（3）不存在

（III）假設側(cè)棱AA1上存在一點P（2，y，0）（0≤y≤3），使得CP⊥面BDC1．

則  CP • C₁B =0  CP • C₁D =0   ，

即 3(y-3)=0

   2+3(y-3)=0  ∴方程組無解．∴假設不成立．

∴側(cè)棱AA₁上不存在點P，使CP⊥面BDC₁．（14分）