Question

函數(shù)y=log_a（x-2）+2（a＞0，a≠1）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，且點(diǎn)A在曲線y²=mx+n上，其中m，n＞0，則

4

m

+

3

n

的最小值為

27

4

．

Answer 1

分析：由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)y=log_a（x-2）+2恒過(guò)定點(diǎn)A（3，2）及點(diǎn)A在曲線y²=mx+n上可得2m+n=4，m＞0，n＞0，而

4

m

+

3

n

=(

4

m

+

3

n

)(3m+ n)×

1

4

，利用基本不等式可求最小值．

解答：解：由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)y=log_a（x-2）+2恒過(guò)定點(diǎn)A（3，2）
∵點(diǎn)A在曲線y²=mx+n上，
∴3m+n=4，m＞0，n＞0
∴

4

m

+

3

n

=(

4

m

+

3

n

)(3m+ n)×

1

4

=

1

4

（15+

4n

m

+

9m

n

）≥

15

4

+

1

4

×2

4n m • 9m n

=

27

4

，
當(dāng)且僅當(dāng)

4n

m

=

9m

n

取等號(hào)，
故答案為：

27

4

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用基本不等式求解最值，解題的關(guān)鍵是要對(duì)所求的式子進(jìn)行配湊成符合基本不等式的條件即是進(jìn)行了1的代換．