Question

數(shù)列{a_n}、{b_n}的每一項(xiàng)都是正數(shù)，a₁=8，b₁=16，且a_n、b_n、a_n+1成等差數(shù)列，b_n、a_n+1、b_n+1成等比數(shù)列，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）求a₂、b₂的值；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有

1

a1-1

+

1

a2-1

+

1

a3-1

+…+

1

an-1

＜

2

7

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件得2b₁=a₁+a₂，

a

2 2

=b1b2，由此能求出a₂、b₂的值．
（Ⅱ）由已知條件推導(dǎo)出2b_n=a_n+a_n+1．

a

2 n+1

=bnbn+1，an+1=

bnbn+1

，由此能求出bn=4(n+1)2，a_n=4n（n+1）．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，所證明的不等式為

1

7

+

1

23

+

1

47

+…+

1

4n2+4n-1

＜

2

7

，可以用三種不同的方法進(jìn)行證明．

解答： （本題滿分14分）
（Ⅰ）解：∵a₁=8，b₁=16，且a_n、b_n、a_n+1成等差數(shù)列，
∴2b₁=a₁+a₂，得a₂=2b₁-a₁=32-8=24．…（1分）
∵b_n、a_n+1、b_n+1成等比數(shù)列，
∴

a

2 2

=b1b2，得b2=

a 2 2

b1

=36．…（2分）
（Ⅱ）解：∵a_n、b_n、a_n+1成等差數(shù)列，∴2b_n=a_n+a_n+1…①．…（3分）
∵b_n、a_n+1、b_n+1成等比數(shù)列，∴

a

2 n+1

=bnbn+1，
∵數(shù)列{a_n}、{b_n}的每一項(xiàng)都是正數(shù)，∴an+1=

bnbn+1

…②．…（4分）
∴當(dāng)n≥2時(shí)，an=

bn-1bn

…③．…（5分）
將②、③代入①式，得2

bn

=

bn-1

+

bn+1

，
∴數(shù)列{

bn

}是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列，
∴

bn

=

b1

+(n-1)d=2n+2，
∴bn=4(n+1)2．…（6分）
由③式得當(dāng)n≥2時(shí)，an=

bn-1bn

=

4n2•4(n+1)2

=4n(n+1)．…（7分）
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=8，滿足該式子，
∴對(duì)一切正整數(shù)n，都有a_n=4n（n+1）．…（8分）
（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）可知，所證明的不等式為

1

7

+

1

23

+

1

47

+…+

1

4n2+4n-1

＜

2

7

．…（9分）
方法一：首先證明

1

4n2+4n-1

＜

2

7

(

1

n

-

1

n+1

)（n≥2）．
∵

1

4n2+4n-1

＜

2

7

(

1

n

-

1

n+1

)?

1

4n2+4n-1

＜

2

7n2+7n

?7n2+7n＜8n2+8n-2，
∴n²+n-2＞0?（n-1）（n+2）＞0，
所以當(dāng)n≥2時(shí)，

1

7

+

1

23

+…+

1

4n2+4n-1

＜

1

7

+

2

7

[(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]＜

1

7

+

2

7

×

1

2

=

2

7

．…（12分）
當(dāng)n=1時(shí)，

1

7

＜

2

7

．…（13分）
綜上所述，對(duì)一切正整數(shù)n，有

1

a1-1

+

1

a2-1

+

1

a3-1

+…+

1

an-1

＜

2

7

…（14分）
方法二：

1

4n2+4n-1

＜

1

4n2+4n-3

=

1

(2n-1)(2n+3)

=

1

4

(

1

2n-1

-

1

2n+3

)．
當(dāng)n≥3時(shí)，

1

7

+

1

23

+…+

1

4n2+4n-1

＜

1

7

+

1

23

+

1

4

[(

1

5

-

1

9

)+(

1

7

-

1

11

)+…+(

1

2n-3

-

1

2n+1

)+(

1

2n-1

-

1

2n+3

)]＜

1

7

+

1

23

+

1

4

(

1

5

+

1

7

)＜

1

7

+

1

14

+

1

14

=

2

7

．…（12分）
當(dāng)n=1時(shí)，

1

7

＜

2

7

；當(dāng)n=2時(shí)，

1

7

+

1

23

＜

1

7

+

1

7

=

2

7

．…（13分）
綜上所述，對(duì)一切正整數(shù)n，有

1

a1-1

+

1

a2-1

+

1

a3-1

+…+

1

an-1

＜

2

7

…（14分）
方法三：

1

4n2+4n-1

＜

1

4n2-1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)．
當(dāng)n≥4時(shí)，

1

7

+

1

23

+…+

1

4n2+4n-1

＜

1

7

+

1

23

+

1

47

+

1

2

[(

1

7

-

1

9

)+(

1

9

-

1

11

)+…+(

1

2n-3

-

1

2n-1

)+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]＜

1

7

+

1

23

+

1

47

+

1

14

＜

2

7

．…（12分）
當(dāng)n=1時(shí)，

1

7

＜

2

7

；當(dāng)n=2時(shí)，

1

7

+

1

23

＜

1

7

+

1

7

=

2

7

；
當(dāng)n=3時(shí)，

1

7

+

1

23

+

1

47

＜

1

7

+

1

14

+

1

14

=

2

7

．…（13分）
綜上所述，對(duì)一切正整數(shù)n，有

1

a1-1

+

1

a2-1

+

1

a3-1

+…+

1

an-1

＜

2

7

…（14分）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明，一題多證能夠培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的能力．