對于n∈N*（n≥2），定義一個如下數(shù)陣：，其中對任意的1≤i≤n，1≤j≤n，當(dāng)i能整除j時，aij=1；當(dāng)i不能整除j時，aij=0．設(shè)．
（Ⅰ）當(dāng)n=6時，試寫出數(shù)陣A66并計算；
（Ⅱ）若[x]表示不超過x的最大整數(shù)，求證：=；
（Ⅲ）若，，求證：g（n）-1＜f（n）＜g（n）+1．
【答案】分析：（Ⅰ）依題意可得，． ．
（Ⅱ）由題意可知，t（j）是數(shù)陣Ann的第j列的和，因此是數(shù)陣Ann所有數(shù)的和．而數(shù)陣Ann所有數(shù)的和也可以考慮按行相加．對任意的1≤i≤n，不超過n的倍數(shù)有1i，2i，…，．因此數(shù)陣Ann的第i行中有個1，其余是0，即第i行的和為．從而得到結(jié)果．
（Ⅲ）由[x]的定義可知，，所以．所以．再考查定積分，根據(jù)曲邊梯形的面積的計算即可證得結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）依題意可得，． ．
（Ⅱ）由題意可知，t（j）是數(shù)陣Ann的第j列的和，因此是數(shù)陣Ann所有數(shù)的和．
而數(shù)陣Ann所有數(shù)的和也可以考慮按行相加．
對任意的1≤i≤n，不超過n的倍數(shù)有1i，2i，…，．
因此數(shù)陣Ann的第i行中有個1，其余是0，即第i行的和為．
所以=．
（Ⅲ）證明：由[x]的定義可知，，
所以．所以．
考查定積分，將區(qū)間[1，n]分成n-1等分，則的不足近似值為，的過剩近似值為． 所以．
所以＜g（n）．所以g（n）-1＜g（n）+1．
所以g（n）-1＜f（n）＜g（n）+1．
點(diǎn)評：本小題主要考查高階矩陣、矩陣的應(yīng)用、定積分等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•蕪湖二模）已知函數(shù)f(x)=
1
2
(x+
1
x
)，x≥0，an+1=f（an），對于任意的n∈N*，都有an+1＜an．
（Ⅰ）求a1的取值范圍；
（Ⅱ）若a1=
3
2
，證明an＜1+
1
2n+1
（n∈N+，n≥2）．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下證明
a1
a2
+
a2
a3
+…+
an
an+1
-n＜
2
+1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f（x）的定義域為R，數(shù)列{an}滿足an=f（an-1）（n∈N*且n≥2）．
（Ⅰ）若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1≠a2，且f（an）-f（an-1）=k（an-an-1）（k為非零常數(shù)，n∈N*且n≥2），求k的值；
（Ⅱ）若f（x）=kx（k＞1），a1=2，bn=lnan(n∈N*)，數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，對于給定的正整數(shù)m，如果
S(m+1)nSmn
的值與n無關(guān)，求k的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于n∈N*（n≥2），定義一個如下數(shù)陣：Ann=
a11a12…a1n
a21a22…a2n
…………
an1an2…ann
，其中對任意的1≤i≤n，1≤j≤n，當(dāng)i能整除j時，aij=1；當(dāng)i不能整除j時，aij=0．設(shè)t(j)=
n
i=1
aij=a1j+a2j+…+anj．
（Ⅰ）當(dāng)n=6時，試寫出數(shù)陣A66并計算
6
j=1
t(j)；
（Ⅱ）若[x]表示不超過x的最大整數(shù)，求證：
n
j=1
t(j)=
n
i=1
[ 
n
i
 ]；
（Ⅲ）若f(n)=
1
n
n
j=1
t(j)，g(n)=
∫
n
1
1
x
dx，求證：g（n）-1＜f（n）＜g（n）+1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•閘北區(qū)一模）若數(shù)列{bn}滿足：對于n∈N*，都有bn+2-bn=d（常數(shù)），則稱數(shù)列{bn}是公差為d的準(zhǔn)等差數(shù)列．如：若cn=
4n-1，當(dāng)n為奇數(shù)時
4n+9，當(dāng)n為偶數(shù)時.
則{cn}是公差為8的準(zhǔn)等差數(shù)列．
（1）求上述準(zhǔn)等差數(shù)列{cn}的第8項c8、第9項c9以及前9項的和T9；
（2）設(shè)數(shù)列{an}滿足：a1=a，對于n∈N*，都有an+an+1=2n．求證：{an}為準(zhǔn)等差數(shù)列，并求其通項公式；
（3）設(shè)（2）中的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S63＞2012，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•東城區(qū)一模）對于n∈N*（n≥2），定義一個如下數(shù)陣：Ann=
a11a12…a1n
a21a22…a2n
…………
an1an2…ann

其中對任意的1≤i≤n，1≤j≤n，當(dāng)i能整除j時，aij=1；當(dāng)i不能整除j時，aij=0．
（Ⅰ）當(dāng)n=4時，試寫出數(shù)陣A44；
（Ⅱ）設(shè)t(j)=
n
i=1
aij=a1j+a2j+…+anj．若[x]表示不超過x的最大整數(shù)，
求證：
n
j=1
t(j)=
n
i=1
[ 
n
i
 ]．

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