Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝x2＋2aln x.

(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求函數(shù)f′(x)的最小值；

(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值．

Answer 1

【答案】(1)4.

(2) 函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0，)，單調(diào)遞增區(qū)間是(，＋∞)．函數(shù)f(x)有極小值f()＝－a＋2aln.

【解析】分析：首先求出函數(shù)的定義域，先保證函數(shù)的生存權(quán)，對(duì)于第一問(wèn)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，之后應(yīng)用基本不等式求出的最小值，注意等號(hào)成立的條件；對(duì)于第二問(wèn)求導(dǎo)，之后對(duì)參數(shù)的取值進(jìn)行討論，利用導(dǎo)數(shù)大于零，函數(shù)單調(diào)增，導(dǎo)數(shù)小于零，函數(shù)單調(diào)減，從而確定出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及函數(shù)的極值.

詳解：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)．

(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f′(x)＝2x＋≥2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝，

即x＝1時(shí)等號(hào)成立，故函數(shù)f′(x)的最小值為4.

(2)f′(x)＝2x＋＝2(x＋)．

①當(dāng)a≥0時(shí)，f′(x)＞0，因此f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)，這時(shí)函數(shù)無(wú)極值；

②當(dāng)a＜0時(shí)，f′(x)＝.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下：

x	(0，)		(，＋∞)
f′(x)	－	0	＋
f(x)	減	極小值	增

因此函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0，)，單調(diào)遞增區(qū)間是(，＋∞)．且當(dāng)x＝時(shí)，函數(shù)f(x)有極小值f()＝－a＋2aln.