Question

20．函數(shù)f（x）對(duì)任意的m，n∈R，都有f（m+n）=f（m）+f（n）-1，并且x＞0時(shí)，恒有f（x）＞1．
（1）求證：f（x）在R上是增函數(shù)；
（2）若f（3）=4，且不等式f（ma²+ma）＜2對(duì)任意實(shí)數(shù)a恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則f（x₂）-f（x₁）=f[（x₂-x₁）+x₁]-f（x₁），由已知可判斷其符號(hào)；
（2）令m=n=1可求得f（2），進(jìn)而可得f（1）=2，利用單調(diào)性可去掉不等式中的符號(hào)“f”，轉(zhuǎn)化為具體不等式，結(jié)合二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，得到答案．

解答 證明：（1）設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
∴f（x₂-x₁）＞1，
又f（x₂）-f（x₁）=f[（x₂-x₁）+x₁]-f（x₁）
=f（x₂-x₁）+f（x₁）-1-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）是R上的增函數(shù)．
解：（2）∵m，n∈R，不妨設(shè)m=n=1，
∴f（1+1）=f（1）+f（1）-1，即f（2）=2f（1）-1，
f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）-1=2f（1）-1+f（1）-1=3f（1）-2=4，
∴f（1）=2，
∴f（ma²+ma）＜2=f（1），
∵f（x）在R上為增函數(shù)，
∴ma²+ma＜1，即ma²+ma-1＜0恒成立，
當(dāng)m=0時(shí)，顯然滿足條件，
當(dāng)m≠0時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}m＜0\\△={m}^{2}+4m＜0\end{array}\right.$，即m∈（-4，0），
∴綜上所述，m∈（-4，0]

點(diǎn)評(píng) 本題考查抽象函數(shù)單調(diào)性的判斷、抽象不等式的求解，考查轉(zhuǎn)化思想，抽象函數(shù)的單調(diào)性常用定義解決，抽象不等式的求解往往轉(zhuǎn)化為具體不等式處理．