Question

拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且過點(diǎn)（4，4），焦點(diǎn)為F；
（1）求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和標(biāo)準(zhǔn)方程：
（2）P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，M是PF的中點(diǎn)，求M的軌跡方程．

Answer 1

（1）拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且過點(diǎn)（4，4），
設(shè)拋物線解析式為y²=2px，把（4，4）代入，得，16=2×4p，∴p=2
∴拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：y²=4x，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（1，0）
（2）設(shè)M（x，y），P（x₀，y₀），F(xiàn)（1，0），M是PF的中點(diǎn)
則x₀+1=2x，0+y₀=2 y            
∴x₀=2x-1，y₀=2 y
∵P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，∴y₀²=4x₀
∴（2y）²=4（2x-1），化簡得，y²=2x-1．
∴M的軌跡方程為 y²=2x-1．