Question

設(shè)函數(shù).

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)函數(shù)，若當(dāng)時，恒成立，求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1） 當(dāng)時，，所以在上是增函數(shù)當(dāng)時，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù);（2）

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式求出，對于含有的參數(shù)要進(jìn)行討論，或兩種情況;（2）設(shè),將恒成立，轉(zhuǎn)化成恒成立，所以求,將分解因式，討論的范圍，確定的正負(fù)，討論的單調(diào)性，確定恒成立的條件，確定的范圍，此題考察了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于中等偏上的系統(tǒng)，兩問都考察到了分類討論的范圍，這是我們在做題時考慮問題不全面，容易丟分的環(huán)節(jié).

試題解析：（1）解：因為，其中． 所以， 2分

當(dāng)時，，所以在上是增函數(shù) 4分

當(dāng)時，令，得

所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù). 6分

（2）解：令，則，

根據(jù)題意，當(dāng)時，恒成立. 8分

所以

（1）當(dāng)時，時，恒成立.

所以在上是增函數(shù)，且，所以不符題意 10分

（2）當(dāng)時，時，恒成立.

所以在上是增函數(shù)，且，所以不符題意 12分

（3）當(dāng)時，時，恒有，故在上是減函數(shù)，

于是“對任意都成立”的充要條件是，

即，解得，故.

綜上所述，的取值范圍是. 15分

考點：1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；2.利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立的問題.