已知a、b是正整數(shù)，函數(shù)數(shù)學(xué)公式的圖象經(jīng)過點（1，3）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（-1，0]上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明你的結(jié)論．

解：（1）由函數(shù)，知．
又a、b均為正整數(shù)，
故3-a＞0，b+1≥2．于是，必有．
所以（x≠-1）．
（2）結(jié)論：上是減函數(shù)．
證明  設(shè)x1、x2是（-1，0]內(nèi)的任意兩個不相等的實數(shù)，且x1＜x2．
則
=
=．
又-1＜x1≤0，-1＜x2≤0，x1＜x2，故x1-x2＜0，1+x2＞0，x2+x1（1+x2）＜0．
于是，＞0，即f（x1）-f（x2）＞0，f（x1）＞f（x2）．
所以，函數(shù)上是減函數(shù)．
分析：（1）將點的坐標代入函數(shù)解析式，得出a，b的關(guān)系式，再結(jié)合a、b是正整數(shù)，即可求出a，b 的值，最后寫出函數(shù)f（x）的解析式；
（2）先判斷出f（x）在（-1，0]上的單調(diào)性，取值作差，通分化簡判定出符號，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進行判定即可．
點評：本題主要考查了函數(shù)解析式的求解及常用方法、函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，以及分式函數(shù)符號的判定，屬于基礎(chǔ)題．
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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•黃浦區(qū)一模）已知a、b是正整數(shù)，函數(shù)f(x)=ax+
2x+b
(x≠-b)的圖象經(jīng)過點（1，3）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（-1，0]上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年上海市黃浦區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知a、b是正整數(shù)，函數(shù)的圖象經(jīng)過點（1，3）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（-1，0]上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年上海市黃浦區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知a、b是正整數(shù)，函數(shù)的圖象經(jīng)過點（1，3）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（-1，0]上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：黃浦區(qū)一模 題型：解答題

已知a、b是正整數(shù)，函數(shù)f(x)=ax+
2
x+b
(x≠-b)的圖象經(jīng)過點（1，3）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（-1，0]上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：上海市黃浦區(qū)2010屆高三上學(xué)期期終基礎(chǔ)學(xué)業(yè)測評（數(shù)學(xué)理） 題型：解答題

 本題共有2個小題，第1小題滿分8分，第2小題滿分8分．

已知a、b是正整數(shù)，函數(shù)的圖像經(jīng)過點．

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)判斷函數(shù)f(x)在上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明你的結(jié)論．

 

 

 

 

 

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