Question

11．2011年，國際數(shù)學協(xié)會正式宣布，將每年的3月14日設為國際數(shù)學節(jié)，來源是中國古代數(shù)學家祖沖之的圓周率，為慶祝該節(jié)日，某校舉辦的數(shù)學嘉年華活動中，設計了如下有獎闖關游戲：參賽選手按第一關、第二關、第三關的順序依次闖關，若闖關成功，分別獲得5個學豆、10個學豆、20個學豆的獎勵，游戲還規(guī)定，當選手闖過一關后，可以選擇帶走相應的學豆，結束游戲；也可以選擇繼續(xù)闖下一關，若有任何一關沒有闖關成功，則全部學豆歸零，游戲結束．設選手甲第一關、第二關、第三關的概率分別為$\frac{3}{4}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{2}$，選手選擇繼續(xù)闖關的概率均為$\frac{1}{2}$，且各關之間闖關成功互不影響
（1）求選手獲得5個學豆的概率；
（2）求選手甲第一關闖關成功且所得學豆為零的概率．

Answer 1

分析 （1）利用相互獨立事件概率乘法公式能求出選手獲得5個學豆的概率．
（2）設甲“第一關闖關成功且所得學豆為零”為事件A，“第一關闖關成功第二關闖關失敗”為事件A₁，“前兩關闖關成功第三關闖關失敗”為事件A₂，則A₁，A₂互斥，由此能求出選手甲第一關闖關成功且所得學豆為零的概率．

解答 解：（1）選手獲得5個學豆的概率$P（X=5）=\frac{3}{4}×\frac{1}{2}=\frac{3}{8}$
（2）設甲“第一關闖關成功且所得學豆為零”為事件A，
“第一關闖關成功第二關闖關失敗”為事件A₁，
“前兩關闖關成功第三關闖關失敗”為事件A₂，則A₁，A₂互斥，
$P（{A_1}）=\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×（1-\frac{2}{3}）=\frac{1}{8}$，$P（{A_2}）=\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{2}）=\frac{1}{16}$，
∴選手甲第一關闖關成功且所得學豆為零的概率$P（A）=P（{A_1}）+P（{A_2}）=\frac{1}{8}+\frac{1}{16}=\frac{3}{16}$

點評 本題考查概率的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意相互獨立事件概率乘法公式的合理運用．